第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式②二倍角公式③三角函数的图象和性质④正弦定理和余弦定理1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosA＝csinC，则A＝________．答案：π4解析：由acosA＝csinC，asinA＝csinC，得asinA＝acosA，即sinA＝cosA，所以A＝π4.2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin⎝⎛⎭⎫x＋116π＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6.3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tanπ12－1tanπ12＝________．答案：－2 3解析：原式＝sinπ12cosπ12－cosπ12sinπ12＝－⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12sinπ12cosπ12＝－cosπ612sinπ6＝－2 3.4. (必修4P115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos2x ＋12(x ∈R)，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. 5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c2＋4－2c ，即c2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tan α1－tan2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)． (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45. 所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R.因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32.备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________． 答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x －y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2) 设点Q 的坐标为(x0，－A)． 由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4， 所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得 cos ∠PRQ ＝RP2＋RQ2－PQ22RP ·RQ ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A>0，所以A ＝ 3.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π， ∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx.(2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49，即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59 . 题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b. (1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2) 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，得b2＋c2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733. 备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3. (1) 求b ，c 的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ， 即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314. 题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0. 所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0， 即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ， 而b2＋c2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc≤34×4＝ 3. 当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC 为等腰三角形． (2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin2α＝255. 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22，由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数． 规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．事实上，仅由sin(α＋β)＝2 2，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sinα＝55<12，sinβ＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y＝cosx在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos(α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cosπx2cosπ（x－1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cosπx2cosπ（x－1）2＝cosπx2·sinπx2＝12sinπx，最小正周期为T＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫x＋π6，其中x∈⎣⎡⎦⎤－π3，a，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：若－π3≤x≤a，则－π6≤x＋π6≤a＋π6，因为当x＋π6＝－π6或x＋π6＝7π6时，sin⎝⎛⎭⎫x＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a＋π6≤7π6，即π3≤a≤π，即a的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π.3. (2013·北京期末)已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，sinC＝3cosC，则△ABC的面积为________．答案：32解析：由sinC＝3cosC，得tanC＝3>0，所以C＝π3.根据正弦定理可得BCsinA＝ABsinC，即1sinA＝332＝2，所以sinA＝12.因为AB>BC，所以A<C，所以A＝π6，即B＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S△ABC＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．答案：－255解析：∵f(x)＝sinx－2cosx＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sinx－255cosx.令cosφ＝55，sinφ＝－255，则f(x)＝5(sinxcosφ＋sinφcosx)＝5sin(x＋φ)，当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ， k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ， ∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n. (1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长． 解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0，∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a2＋c2－2accosB ，得49＝a2＋c2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13， ∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC.(1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2. ∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ， ∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23.又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC 中∠C ∈(0，π)， ∴ ∠C ＝60°. 3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1.(1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a2＝21，(2R)2＝a2sin2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc4R2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63.(2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos2B ＝223. 在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA ＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx ＋φ视为一个整体X ；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 或y ＝asin2x ＋bsinx ＋c ；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。