1o A的特征值 由它的特征方程 ( ) det( I A) 0
的根确定。
2o 设为A的特征值，求齐次线性方程组 ( I A)x 0 的非零解, 便得到 A 的属于 的特征向量。
§3.1. 幂法和反幂法
§3.1.1 幂法
幂法用于求矩阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。
迭代算法3.3 使用 范数

hr( k
1)

max
1 jn
h(k 1) j
y(k1)
u( k 1) h(k 1)
r


u(
k
)

Ay(k 1)

h1(k ) , h2(k ) ,

k =sign
h(k 1) r
h(k ) r
k 1, 2,
解：应用算法3.2的结果
k0
1
2
16
17
x1 1 0.2857143 0.3617725
0.0000024 0.0000010
x2 0 -1.0000000 -0.5878803
-0.4472155 -0.4472144
x3 0 -0.5714286 -0.7235450
-0.8944262 -0.8944268
u( k 1)
Au(k 2)
Ak u(0)

;
Ak 1u( 0 )
y(k ) u(k ) Ak u(0)
u(k )
Ak u(0)


1 1
k Leabharlann 1 x1 2
2 1
k
x2

k
1
x1

2

2 1

x2
n


11k
x1


k
22
x2



k
nn
xn

1k

1 x1

2

2 1
k
x2


n

n 1
k
xn

不妨设1 0,由 1 i (i 2, 3, , n) 得
lim k
i 1
k
i xi

当k充分大时，有
u(k )

1k

1 x1


n i2

i 1
k
i
xi


1k1 x1
因此，可把u( k )作为与1相应的特征向量的近似。
同样，我们还有u(k +1)

1k
+1 1
x1

1 u(k )。
u( k +1)与u( k )对应分量近似成比例，比例因子正好近似等
k
6.0000000 31.4081633
44.9999275 44.9999710
应用算法3.3的结果
k0
1
2
x1 1 0.2857143 0.5000000
x2 0 -1.0000000 -0.8125000
y(k1) T u(k ) 1 y(k1) T y(k1)，
y u (k1) T (k ) 1 y y (k1) T (k1)
迭代算法3.1
y(k1)
u( k 1) u( k 1)

u(k ) Ay(k1)
n 1
k
xn
k

n

n 1

xn
当k充分大时，有y ( k )


1 1
k
1 x1 1 x1
，即y ( k )可近似地作
为1对应的特征向量，且 y(k) =1
特征值的计算
方法1 由于u(k ) Ay(k1) 1 y(k1) ,从而有
于1,由于迭代公式(3.1)本质上是计算u(k) Ak u(0) , 因此称
这种迭代法为幂法。
归一化处理与实际计算方法

y ( k 1)


u( k 1) u( k 1)
u(k ) Ay(k1)
k 1, 2, ;u(0)任意选取。
分析：u(k ) Au(k1) A2u(k2)
产生的序列u( k ) 的收敛情况来构造计算1和它对应的特征
向量x1的计算方法。
设u(0) 1 x1 2 x2 n xn ,则
u(k ) Au(k1) A2u(k2) Ak u(0)
= 1 Ak x1 2 Ak x2 n Ak xn

y
(
k
1)


u( k 1)
u u (k1) T (k1)

u(
k
)

Ay ( k 1)

k =
y ( k 1)
u T (k )
k 1, 2, ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
第三章 矩阵特征值和特征向量计算
工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动， 及一些稳定性分析和相关分析可 转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
设A (aij )nn是n阶方阵, 如果数 和 n 维非零向量x满足 Ax x，则称 为 A 的一个特征值， x称为矩阵A对应 于的特征向量。
一、算法构造及收敛性分析
条件1 设n n阶实方阵A满足：
1o A有n个线性无关的特征向量x1, x2 , 2o A的n个线性无关的特征向量x1, x2 ,
足 1 2 n 。
, xn; , xn对应的特征值满
下面通过分析由迭代格式
u(k) Au(k1) , k 1, 2, ;初始值u0任意选取。(3.1)



k =

y u (k 1) T (k ) y y (k 1) T (k 1)
k 1, 2, ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
迭代算法3.2 (使用 范数) 2
, hn(k ) T
; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
6 12 6 例1：用幂法求矩阵A 21 3 24的按模最大的特征
12 12 51
值和相应的特征向量。取x(0) (1, 0, 0)T , k k1 107. k