（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列

1

的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn

bn

bn
2 bn
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn

1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,

1 n
Sn

3
.
2
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
数列求和
一、公式法
1. 等差数列求和公式：
Sn

a1
2
an
n

ap
2
aq
n,
p

q

n
1
;
Sn

a1n

n n 1
2
d

d 2
n2


a1

d 2

n
2. 等比数列求和公式：
Sn


a1

1 qn 1 q
a1 anq , q 1 1 q
(2）设数列
bn
前 n 项和为Tn
,且 bn

4 an an 1
,
若 Tn n 36 (1)n 对 n N 恒成立,
求实数 的取值范围.
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，
且对一切正整数 n 都有 Sn

n2

1 2
an
.
（1）求证： an1 an 4n 2 （ n N * ）；
且 a1 、 a2 5 、 a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值；
(Ⅱ)求数列an 的通项公式；
(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,
有 1 1 1 3.
a1 a2
an 2
已知 an

1 n2
．
（1）证明：
n k 1
ak

7 4
；
（2）证明：
n
ak
k 1

5． 3
n 1
n N
，
则在数列an 中 a1 a2 a8
已知等差数列an 的公差为 2 ，
前 n 项和为 Sn ，且 S1, S2 , S4 成等比数列
（1）求an 的通项公式；
（2）令 bn
1 n1 4n ， an1an
求数列的bn的前 n 项和Tn .
情窦初开的年华，一朵鲜花，谁采不是采，谁献不是献。也可以说、谁先采来谁先戴。但是、爱情还存有它诸多的要素与情感的诠释。 人到成熟自然而然就会寻求恋爱。恋爱会造就情侣的幸福与美满。爱情与年龄无关；有共同语言，相似情怀，类似的经历坦诚自然的交流，毫不做作的表现。只有深入了解，才有爱情的起因。爱情用真情来实现相互交流的过程。爱情是向往，是打造婚姻的基础。 爱情自由，婚姻自主。从古至今，在世俗面前往往是种摆设。门当户对，门第观念。才会有爱情悲剧故事的上演：《牛郎织女》《梁山伯与祝英台》《罗密欧与朱丽叶》等等。全面再现了封建世俗末世人性世态，揭示了弱势与强势的种种悲剧与无法调和的社会矛盾。 爱情的行为是柔，慢条斯理，不是急于求成。爱情是双方感情的因果，一个人的行为不叫爱情。爱情是有针对性的，千万别搞错，有的只是友情层面上对你好，那不是爱情。一个人来维持痴情那是很痛苦的一件事。没有物质的爱情是可悲的，他保证不了爱情的延续性。
数列 an 满足 an1 1n an 2n 1， 则an 的前 60 项和为（ ）
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
六、单调性、数列不等式
设数列an 的各项都为正数,
其前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn an2 2an .
(1）求 a1 及数列an 的通项公式；

a1b1

db1
q qn 1 q

anb1q n
qn ( n ) ．
已知 an 2n 1 2n ，设其前 n 项和为 Sn ，求 Sn
已知数列{an}和{bn} 满足， a1 2, b1 1, an1 2an (n N*),
11 b1 2 b2 3 b3
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
四、裂项相消法
• 等差型裂项 • 指数型裂项 • 根式型裂项 • 较复杂式子裂项 • 裂项求和与错位相减
数列 an 满足 a1 1 ，且 an1 an n 1 n N ，
则第 50 个括号内各数之和为
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软
件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1, 2，4，8，16， ，
其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ，21 ，在接下来的
（A） 2 (8n 1) 7
（C） 2 (8n3 1) 7
（B） 2 (8n1 1) 7
（D） 2 (8n4 1) 7
求 A 7 10 13 (3n 2) 和 B 19 17 15 (11 2n) 的值．