【训练 1】 (1)数列 112，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的
前 n 项和 Sn 的值等于( )
A.n2＋1－21n
B.2n2－n＋1－21n
C.n2＋1－2n1－1
D.n2－n＋1－21n
(2)(2016·安康模拟)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数 列{an}的前 12 项和等于( )
a1（1－qn）
a1－anq
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q ＝
1－q
.
(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等 比数列，再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的 推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数 列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
A.2n＋n2－1
B.2n＋1＋n2－1
C.2n＋1＋n2－2
D.2n＋n－2
解析 Sn＝2（11－－22n）＋n（1＋22n－1）＝2n＋1－2＋n2.
答案 C
3.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n， 则S17＝( )
A.9
B.8
C.17
D.16
解析 S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋ 3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1
(2)因为 bn＝2an＋21an＝2n＋1＋2n1＋1＝2n＋21n＋2， 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋2＋…＋2)＋2(1＋2＋…＋n)＋12＋212＋…＋21n ＝2n＋2·n（n＋ 2 1）＋12[11－－1212n] ＝n2＋3n＋1－21n.
规律方法 (1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和. (2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝abnn，，nn为为奇偶数数，，其中数列{an}， {bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
∴ad1＝＝11，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴ana1n＋1＝n（n1＋1）＝1n－n＋1 1， ∴数列ana1n＋1的前 100 项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1011＝110001.
答案 A
5. 1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1).
(4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两
边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得.( × )
(5)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是首项为 1，公比
为 3 的等比数列，则数列{an}的通项公式是 an＝
3n－1 2 .(
√
)
2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n项和0
D.82
解析 (1)该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n， 则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n. (2)由已知 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，① 得 an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，② 由①②得 an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)， 取 n＝1，5，9 及 n＝2，6，10， 结果相加可得 S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78. 答案 (1)A (2)B
＋1＋…＋1＝9. 答案 A
4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5＝5，S5＝15，则数
列ana1n＋1的前 100 项和为(
)
100 A.101
99 B.101
99 C.100
101 D.100
解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.
a1＋4d＝5， ∵a5＝5，S5＝15，∴5a1＋5×（52－1）d＝15，
函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x 满足 f′π2 ＝0. (1)求数列{an} 的通项公式； (2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解 (1)由题设可得 f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－ an＋2cos x. 对任意 n∈N*，f′π2 ＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即 an＋1－an＝an＋2－an＋1， 故{an}为等差数列. 由 a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差 d＝1， 所以 an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求
和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋ (98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2.常见的裂项公式 (1)n（n1＋1）＝1n－n＋1 1.
第4讲 数列求和
最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
知识梳理 1.求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前 n 项和公式
Sn＝
n（a1＋an） 2
＝
na1＋n（n－ 2 1）d.
②等比数列的前 n 项和公式
(ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝ na1 ；
解析 设 Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①
则 xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
②
①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝11－－xxn－nxn，
∴Sn＝（11－ －xxn）2－1n－xnx. 答案 （11－－xxn）2－1n－xnx
考点一 分组转化法求和 【例 1】 设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意 n∈N*，
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时使 用公式 Sn＝n（a12＋an）较为合理. ( √ ) (2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝a11－－aqn＋1.( √ ) (3)当 n≥2 时，n2－1 1＝12(n－1 1－n＋1 1).( √ )