课时作业11 函数的最大(小)值
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (－3
2) B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，f (0) D ．f (0)，f (3)
解析：观察函数图象， f (x )最大值、最小值分别为f (0), f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，故选
B.
2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A ) A ．y ＝1
x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x 2
D ．y ＝1－x
解析：B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
3．函数y＝x＋x－2的值域是(B)
A．[0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：函数y＝x＋x－2在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2.
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(C)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(B)
A．R B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．∅
解析：因为f(x)＝2x－3在R上是增函数，所以当x≥1时，f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，故m≤－1.
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为15－a，设利润为y，
则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15)，
即y ＝－0.15a 2＋3.06a ＋30，可求y max ＝45.6. 二、填空题
7．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3. 解析：化简函数为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，
2x －1，x >2，
其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
8．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是(1,3]．
解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.
9．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为6.
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．
由图象可知，函数f(x)的最大值为6.
三、解答题
10．画出函数
f (x )＝⎩⎨⎧
－2x
，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)
的图象，并写出
函数的单调区间及最小值．
解：f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.
11．已知函数f (x )＝2x
x ＋1，x ∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小
值．
解：设－3≤x 1<x 2≤－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2
x 2＋1
＝2x 1(x 2＋1)－2x 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).
由于－3≤x 1<x 2≤－2，
所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)．
所以函数f(x)＝2x
，x∈[－3，－2]是增函数．
x＋1
又因为f(－2)＝4, f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
——能力提升类——
12．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(C)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：令f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2.
由函数f(x)的图象知0＝f(0)≤f(x)≤f(1)，
因此a<0，故选C.
13．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，求m的取值范围是(B)
A．[2，＋∞) B．[2,4]
C．(－∞，2] D．[0,2]
解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.又最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.故选B.
14．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为2.
解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
15．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又
∵f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎨
⎧
f (1)＝a ，
f (a )＝1，
即⎩⎨
⎧
1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1.
解
得a ＝2.
(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2， 又∵x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3.。