1.（2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，()1120,0,2,,,222P a E a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 设AC∩BD=O，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2cos 2EA EO AEO EA EO⋅∠==⋅， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.2.(2009山东卷)（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

ECE 1A 1B 1C 1D 1D解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A （3,-1,0）,F （3,1,0）,C （0,2,0）C 1（0,2,2）,E （32,12-,0）,E 1（3,-1,1）,所以131(,,1)22EE =-,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC =1(3,1,2)FC =-设平面CC 1F 的法向量为(,,)n x y z =则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以300x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取(1,3,0)n =,则1311310022n EE ⋅=⨯-⨯+⨯=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1. （2）(0,2,0)FB =,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z =,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11110320y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩,取1(2,0,3)n =,则12130032n n ⋅=⨯-⨯+⨯=, 2||1(3)2n =+=,221||20(3)7n =++=,所以11127cos ,7||||27n n n n n n ⋅〈〉===⨯,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为77. 3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC（I ）证明：AB AC =（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

（I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C -为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=︒EA BCFEA 1B 1C 1D 1Dxz ME 为1B C 的中点，BE EC ∴=。

又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，AF BC ⊥，得AB AC =也可。

分析三：利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒.不妨设23AC =，则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG ⋅=⋅，易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α。

利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅，可求得h =23，又可求得143B C = 11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n ，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C 与法向量n 的夹角的余角。

具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会兼顾双方的利益 4.（2009全国卷Ⅰ）(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()II 求二面角S AM B --的大小。

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，)2,2,0(-=SC ，由题得⎪⎩⎪⎨⎧>=<SC SM BM BA //21,cos ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-⋅--)2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12,12,2(),12,12,0(λλλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即22)12()12(214λλλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则SABCD Mz xy⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0011AS n MA n 且⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0012AB n MA n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，∴3662202,cos 21=⋅++>=<n n二面角S AM B --的大小36arccos-π。

5.（2009天津卷）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点。

设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ⎪⎭⎫⎝⎛，， （I ）()，，，解：101B F -= ()，，，110DE -= .2122100DEBF DE BF DE cos =•++=•=，于是BF所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为060.（II ）证明：，，，由⎪⎭⎫ ⎝⎛=21121AM ()，，，101CE -= ()0AM CE 020AD =•=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=•.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂（III ）⎪⎩⎪⎨⎧=•=•=.0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是==⎩⎨⎧=+-=+-u x z y z x又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v.3313100cos =•++=•=v u v u v u ，所以， 6.（2009年上海卷）（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===,AB BC ⊥,求二面角111B AC C --的大小。

【解】如图，建立空间直角坐标系则A （2，0，0）、 C （0，2，0） A1（2，0，2），B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC, BM ⊥CC1;∴BM ⊥平面A1C1C,即BM =(1,1,0)是平面A1C1C 的一个法向量。

……5分 设平面111A B C 的一个法向量是(,,)n x y z = =（x ，y ，z ）， 1AC =（-2，2，-2）， 11A B =（-2，0，0） ……7分120,2220,1,0,1(0,1,1)...................10n AB x n AC x y z z x y n ∴⋅=-=⋅=-+-====∴=令解得分设法向量n BM 与的夹角为ϕ，二面角111B AC C --的大小为θ，显然θ为锐角1111cos cos ,233n BMn BM B AC C πθϕθπ⋅====∴--解得二面角的大小为…………………….14分7（2010湖南）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 118.解 Ⅰ）如图，因为1111A B D C //，所以11B MA ∠异面 直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角，因为1A 1B ⊥平面11B BCC ， 所以1190=∠M B A ，而1A 1B =1，2212111=+=MC C B M B ，故211111==∠B A MB B MA tan . 即异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值为2（Ⅱ）由1A 1B ⊥平面11B BCC ，BM ⊂⊥平面11B BCC ，得1A 1B ⊥ BM ①由（Ⅰ）知，21=M B ， 222=+=CM BC BM ，21=B B ，所以21221B B BM M B =+，从而BM ⊥B 1M ② 又1111B M B B A = , 再由① ②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M.8.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=½AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。