梯形常见辅助线作法
1
1、平移法
2
（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)
3
［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，
4
BC＝49cm，求CD的长．
5
解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．
6
∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．
7
∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．
8
又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．
9
又∵∠C＝60°，
10
∴△CDE是等边三角形，
11
即CD＝EC＝34cm．
12
（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)
13
［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14
证：EF=FB
15
证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G
16
∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG
17
∵ACED中，AD∥CE AD=CE
18
∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19
又∵∠CFE=∠GFB
20
∴△ECF≌△BGF( ASA)
21
∴EF=FB
22 A
D C
E
F
B
点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23
和三角形。
24
（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25
同一个三角形中。
26
［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
27
∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．
28
求证：MN＝1
() 2
BC AD
29
证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,
30
则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC
31
∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF
32
又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF
33
则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形
34
∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35
则有EF=1
2
GH=
1
2
(BC-BG-HC)=
1
2
(BC-AD)
36
（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37
[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形
38
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线
39
求证：AB=DC
40
证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41
B B
则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE
42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC
45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
46 2、作梯形的高
47 （1）作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形 48 ［例6］如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，
49 AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ， 50 交AD 于点E
51 求证：四边形ABFE 是等腰梯形
52 证明：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，则易知四边形DGBC 是矩形，所以DC=BG 53 ∵AB=2DC ∴AG=GB 54 ∴DA=DB ∴∠DAB=∠DBA 55 又∵EF//AB
56 ∴四边形ABFE 是等腰梯形。
57 （2）作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角58 形和一个矩形
59 ［例7］如图，在梯形ABCD 中，DC∥AB，AD=BC ，若AD=5，CD=2，AB=8,求梯形ABCD 的面积。
60
A
解：过点D 、C 分别作DE⊥AB 于E ，CF⊥AB 于F. 61 ∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
62 ∴四边形CDEF 是矩形 ∴DC=EF，DE=CF 63 易证△ADE ≌△DCF(HL) ∴AE=BF 64 ∴AE=
12(AB-EF)=1
2
(AB-CD)=3 65
2222534AD AB -=-=
66 3、延长两腰交于一点，可使梯形转化为三角形
67 ［例5］如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5， 68 求CD 的长。
69 解：延长BA 、CD 交于点E
70 ∵在△BCE 中，∠B=50°，∠C=80° 71 ∴∠E=50° ∴BC=EC=5
72 又∵AD//BC ∴∠EAD =∠B=50° ∴AD=ED=2 73 ∴CD=EC-ED=5-2=3 74 4、中位线法
75 （1）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线
76 ［例10］如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点， 77 ∠AOD =90°，求证：AB ＋CD=AD
78 证明：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线
79
D A
O
B
E
A
∴OE=2
1（AB ＋CD ）
80 在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE
81
∴AD 2
1
OE =
∴AB ＋CD=AD 82 点评：已知梯形一腰中点，作梯形的中位线，既可轻松解决计算问题，也可以在证明中将83 梯形转化为三角形。
84 （2）已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，85 使问题转化为三角形中位线
86 ［例11］如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点， 87 求证：（1）EF//AD ；（2）)AD BC (2
1EF -=
88 证明：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD≌△CFG （ASA ）
89 则AD=CG ，DF=GF
90 ∵DE=BE ，∴EF 是△BDG 的中位线 91 ∴EF//BG 且BG 2
1EF = 92 又∵AD//BG ，BG=BC-CG=BC-AD 93 ∴EF//AD ，EF )AD BC (21
-= 94 5、构造全等三角形
95 （1）连接梯形一顶点及一腰的中点 96 ［例8］(梯形中位线的性质)
97 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，M 、N 为腰AB 、DC 的中点，
98
B
求证：MN ∥AD ∥BC ，)(2
1
AD BC MN +=
99 证明：连结AN 并延长，交BC 的延长线于点E 100 ∵AD//BC ， ∴∠D=∠DCE
101 易证△ADN ≌△ECN(ASA) ∴AN=EN ，AD=CE 102 又∵AM=MB 103 ∴EF ∥AD // BC
104
111
BC+CE =BC AD 222
MN BE =
=+（）（）
(三角形中位线性质) 105 （2）过一腰的中点作另一腰的平行线 106 ［例9］(梯形的中位线性质)
107 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，M 、N 为腰AB 、DC 的中点，
108
求证：MN ∥AD ∥BC ，)(2
1
AD BC MN +=
109 证明：过F 作AB 的平行线，交AD 的延长线于点N ，交BC 于M 110 则四边形ANMB 为平行四边形
111 ∴AN=BM ，AB=MN ，AB//NM
112 ∵AD//BC ， ∴∠N=∠CMF 113 易证△DNF ≌△CMF(ASA) 114 ∴DN=CM ，DF=CF
115
B
又∵AE=EB ∴AE=NF 且AE//NF ∴四边形AEFN 为平行四边形 116 ∴EF ∥AD // BC EF=AN=BM
117
∴111
EF AN BM AD+DN+BC-MC =BC AD 222
=+=+（）（）（）
118
6、作对角线，使梯形转化为三角形
119 ［例12］如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ， 120 AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE
121 证明：连结BD
122 ∵AD//BC ∴∠ADB=∠DBE
123 又∵BC=CD ∴∠DBC=∠BDC ∴∠ADB=∠BDE 124 又∵∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD
125 ∴Rt △BAD ≌Rt △BED(AAS) ∴ AD=DE
126 以上的一些常用辅助线，实际上都体现了数学中的转化的数学思想，即将梯形的问题转化127 为三角形或平行四边形，在学习过程中希望同学们能细心体会并加以灵活运用。
128
C。