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最新梯形常见辅助线作法(教师版)

梯形常见辅助线作法
1
1、平移法
2
(1)梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)
3
[例1]如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠C=60°,AD=15cm,
4
BC=49cm,求CD的长.
5
解:过D作DE∥AB交BC于E,则四边形ABED为平行四边形.
6
∴AD=BE=15cm,AB=DE.
7
∴EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34cm.
8
又∵AB=CD,∴ DE=CD.
9
又∵∠C=60°,
10
∴△CDE是等边三角形,
11
即CD=EC=34cm.
12
(2)梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)
13
[例2]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,四边形ACED是平行四边形,延长DC交BE于F. 求14
证:EF=FB
15
证明:过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G
16
∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG
17
∵ACED中,AD∥CE AD=CE
18
∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19
又∵∠CFE=∠GFB
20
∴△ECF≌△BGF( ASA)
21
∴EF=FB
22 A
D C
E
F
B
点评:过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线,可将梯形转化为一个平行四边形23
和三角形。

24
(3)梯形内平移两腰:利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到25
同一个三角形中。

26
[例3]如图,已知:梯形ABCD中,AD∥BC,
27
∠C+∠B=90°,M,N分别是AD,BC的中点.
28
求证:MN=1
() 2
BC AD
29
证明:过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H ,
30
则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG,ED=HC
31
∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF
32
又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF
33
则∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90°,△EGH是直角三角形
34
∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED,BF=CF ∴GF=FH 35
则有EF=1
2
GH=
1
2
(BC-BG-HC)=
1
2
(BC-AD)
36
(4)平移对角线(过一顶点做对角线的平行线)37
[例4]求证:对角线相等的梯形是等腰梯形
38
已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线
39
求证:AB=DC
40
证明:过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41
B B
则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE
42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC
45 点评:过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将对角线的有关条件转化到一个三角形中。

46 2、作梯形的高
47 (1)作一条高,从底边的一个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为直角三角形或矩形 48 [例6]如图,在直角梯形ABCD 中,AB//DC ,∠ABC=90°,
49 AB=2DC ,对角线AC ⊥BD ,垂足为F ,过点F 作EF//AB , 50 交AD 于点E
51 求证:四边形ABFE 是等腰梯形
52 证明:过点D 作DG ⊥AB 于点G ,则易知四边形DGBC 是矩形,所以DC=BG 53 ∵AB=2DC ∴AG=GB 54 ∴DA=DB ∴∠DAB=∠DBA 55 又∵EF//AB
56 ∴四边形ABFE 是等腰梯形。

57 (2)作两条高:从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为两个直角三角58 形和一个矩形
59 [例7]如图,在梯形ABCD 中,DC∥AB,AD=BC ,若AD=5,CD=2,AB=8,求梯形ABCD 的面积。

60
A
解:过点D 、C 分别作DE⊥AB 于E ,CF⊥AB 于F. 61 ∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
62 ∴四边形CDEF 是矩形 ∴DC=EF,DE=CF 63 易证△ADE ≌△DCF(HL) ∴AE=BF 64 ∴AE=
12(AB-EF)=1
2
(AB-CD)=3 65
2222534AD AB -=-=
66 3、延长两腰交于一点,可使梯形转化为三角形
67 [例5]如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5, 68 求CD 的长。

69 解:延长BA 、CD 交于点E
70 ∵在△BCE 中,∠B=50°,∠C=80° 71 ∴∠E=50° ∴BC=EC=5
72 又∵AD//BC ∴∠EAD =∠B=50° ∴AD=ED=2 73 ∴CD=EC-ED=5-2=3 74 4、中位线法
75 (1)已知梯形一腰中点,作梯形的中位线
76 [例10]如图,在梯形ABCD 中,AB//DC ,O 是BC 的中点, 77 ∠AOD =90°,求证:AB +CD=AD
78 证明:取AD 的中点E ,连接OE ,则易知OE 是梯形ABCD 的中位线
79
D A
O
B
E
A
∴OE=2
1(AB +CD )
80 在△AOD 中,∠AOD=90°,AE=DE
81
∴AD 2
1
OE =
∴AB +CD=AD 82 点评:已知梯形一腰中点,作梯形的中位线,既可轻松解决计算问题,也可以在证明中将83 梯形转化为三角形。

84 (2)已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,85 使问题转化为三角形中位线
86 [例11]如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,E 、F 分别是BD 、AC 的中点, 87 求证:(1)EF//AD ;(2))AD BC (2
1EF -=
88 证明:连接DF ,并延长交BC 于点G ,易证△AFD≌△CFG (ASA )
89 则AD=CG ,DF=GF
90 ∵DE=BE ,∴EF 是△BDG 的中位线 91 ∴EF//BG 且BG 2
1EF = 92 又∵AD//BG ,BG=BC-CG=BC-AD 93 ∴EF//AD ,EF )AD BC (21
-= 94 5、构造全等三角形
95 (1)连接梯形一顶点及一腰的中点 96 [例8](梯形中位线的性质)
97 如图,已知在梯形ABCD 中,AD//BC ,M 、N 为腰AB 、DC 的中点,
98
B
求证:MN ∥AD ∥BC ,)(2
1
AD BC MN +=
99 证明:连结AN 并延长,交BC 的延长线于点E 100 ∵AD//BC , ∴∠D=∠DCE
101 易证△ADN ≌△ECN(ASA) ∴AN=EN ,AD=CE 102 又∵AM=MB 103 ∴EF ∥AD // BC
104
111
BC+CE =BC AD 222
MN BE =
=+()()
(三角形中位线性质) 105 (2)过一腰的中点作另一腰的平行线 106 [例9](梯形的中位线性质)
107 如图,已知在梯形ABCD 中,AD//BC ,M 、N 为腰AB 、DC 的中点,
108
求证:MN ∥AD ∥BC ,)(2
1
AD BC MN +=
109 证明:过F 作AB 的平行线,交AD 的延长线于点N ,交BC 于M 110 则四边形ANMB 为平行四边形
111 ∴AN=BM ,AB=MN ,AB//NM
112 ∵AD//BC , ∴∠N=∠CMF 113 易证△DNF ≌△CMF(ASA) 114 ∴DN=CM ,DF=CF
115
B
又∵AE=EB ∴AE=NF 且AE//NF ∴四边形AEFN 为平行四边形 116 ∴EF ∥AD // BC EF=AN=BM
117
∴111
EF AN BM AD+DN+BC-MC =BC AD 222
=+=+()()()
118
6、作对角线,使梯形转化为三角形
119 [例12]如图,在直角梯形ABCD 中,AD//BC , 120 AB ⊥AD ,BC=CD ,BE ⊥CD 于点E ,求证:AD=DE
121 证明:连结BD
122 ∵AD//BC ∴∠ADB=∠DBE
123 又∵BC=CD ∴∠DBC=∠BDC ∴∠ADB=∠BDE 124 又∵∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD
125 ∴Rt △BAD ≌Rt △BED(AAS) ∴ AD=DE
126 以上的一些常用辅助线,实际上都体现了数学中的转化的数学思想,即将梯形的问题转化127 为三角形或平行四边形,在学习过程中希望同学们能细心体会并加以灵活运用。

128
C。

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