【解读二次函数的系数】1、a 的正负决定抛物线的开口方向a ＞0时，抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下。
2、︳a ︳决定抛物线张开角度︳a ︳越大，张开角度越小；︳a ︳越小，张开角度越大；︳a ︳相等，张开角度相同。
3、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置（1）a ，b 同号（ab ＞0），则对称轴x= - b2a <o,对称轴在y 轴的左侧；（2）a ，b 异号（ab ＜0），则对称轴x= - b2a >o,对称轴在y 轴的右侧；（3）若b ＝0，则对称轴x= - b2a =o,对称轴与y 轴重合；4、C 与图像和y 轴的交点位置（1）C ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上； （2）C ＜0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上； （3）C=0时，抛物线过原点； 5、b 2—4ac 决定抛物线与x 轴交点个数（1）b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴相交（有两个交点）； （2）b 2-4ac ＝0时，抛物线与x 轴相切（有一个交点）； （3）b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴相离（没有交点）； 6、若抛物线过点（1，0），则a+b+c = 0若抛物线与过点（1，0）且平行于y 轴的直线相关交于x 轴上方，则a+b+c > 0；反之，则a+b+c < 0. 7、若抛物线过点（－1，0），则a －b+c = 0若抛物线与过点（－1，0）且平行于y 轴的直线相关交于x 轴上方，则a －b+c > 0；反之，则a －b+c < 0. ◆练一练1、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）2、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=b x的图象大致是图中的（ ）4、 如图，为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <05、 如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）6、 （2011甘肃兰州）如右图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。
你认为其中错误的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个【二次函数图象的几何变换】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数y=ax 2的图像，将抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：（2）平移规律：上加下减，左加右减. 二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称y ＝ax 2＋bx ＋c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y ＝ -ax 2-bx -c ；y=a(x-h)2+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y= -a(x-h)2-k ；2. 关于y轴对称y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y＝ax2-bx＋c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；3. 关于原点对称y＝ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y＝ -ax2＋bx-c； y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y= -a(x+h)2-k；4. 关于顶点对称y＝ax2＋bx＋c关于顶点对称后，得到的解析式是y＝ -ax2-bx＋c - b22a；y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y= -a(x-h)2+k．5. 关于点(m,n)对称y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y= -a(x+h-2m)2+2n-k◆练一练1、将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42、如图，在中，AB=4，点D的坐标是(0,8)，，以点C 为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过x轴上的点A，B．⑴ 求点A，B，C的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．3、已知抛物线y=x2-6x+5，求⑴ 关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【二次函数解析式求法】1、利用二次函数的三种表达式确定其解析式例：已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，－6）、和原点，试用三种方法求此抛物线的函数解析式。
2、由几何三大变换求解二次函数解析式 （ 1 ）由二次函数的图象平移变换求解析式已知图象的平移变换求解析式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即y=a(x-h)2+k(a ≠0)的形式，然后根据“上加下减，左加右减”进行求解． 例： 已知二次函数y = -12 x 2 – x+32 ,若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．（ 2 ）二次函数的图象绕顶点旋转180°求解析式.对于旋转变化，把已知二次函数的解析式化成“顶点式”．旋转前后顶点坐标不变，而开口方向相反，故二次项系数互为相反数．例：把函数 的图象绕顶点旋转1800，求所得抛物线的解析式．（ 3 ）二次函数的图象沿坐标轴翻折或对称求解析式.对于翻折，对称变换，通常是将所求二次函数图象上点的坐标进行相应的逆变换，然后利用变化后的点在已知二次函数图象上进行求解．例：把二次函数 的图象沿x 轴翻折，求所得抛物线的解析式．3、根据图象与x 轴两交点间距离d 确定函数解析式已知二次函数图象与x 轴两交点距离d ，求解析式，可用 y = a(x-x0)(x-(x0+d))，的形式求解。
例：二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
2241y x x =-+225y x x =-+【一元二次方程与二次函数的关系】 1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)来说，当y=O 时，就得一元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0)，因此可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步还可以探讨一元二次方程△=b 2-4ac 的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当△=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；②当△=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当△=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.(2)还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题： 当一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根x 1、x 2时，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于两点A(x 1,0)、B(x 2,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·a cx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）.2.利用二次函数解决一元二次方程问题反过来，我们可以根据抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点情况去判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题. ◆练一练1、 已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 .2、 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .3、 已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐 标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．4、 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【二次函数的综合应用】 1、形积问题例：如图所示，已知抛物线y=x 2-1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．2、极值问题 例： 若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）A.最大值m 4B..最大值 -m 4C.最小值m4D.有最小值例：若函数322-+=x x y ，当24-≤≤-x 函数值有最 值为 3、实际应用例： 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分） （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）例：我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件）与每天销售量y （件）之间满足如图所示关系． （1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；（2）①试求出y 与x 之间的函数关系式；②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。