F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生 兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死 亡． 问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔 子？ （取自斐波那契的《算盘书》（1202年））
1月 1对
2 月 1对
1 月 1对
月数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
小兔子对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
大兔子对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
总数
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 14 4
一年后兔子总数为144对
第一个月兔子数 第二个月兔子数
再将两个等比数列的第n 项相加得到斐波那契数列的通项公式
等比数列的通项公式 代入条件
an a1qn1
an an1an2
得 解之得两个根
a1qn1a1qn2a1qn3
q1
1 2
5,q2
1 2
5
找到两个等比数列
{a,aq1, ,aq1n1, } {b,bq2, ,bq2n 1, }
还要满足 得
a b 1,
2 月 1对 3 月 2对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对 7 月 13对
• 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 第4、第8、第12项的数字，能夠被3整除
• 第 5、第10项的数字，能夠被5整除 • 其余的，如此类推……
现在我们来找数列的通项
斐波那契数列满足
an an1an2
我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和，
《几何原本》共十三卷，多处涉及到黄金分割的内容。
在第六卷中讲比例时，给出了如下的定义： 分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比。中外比(extreme and mean ratio )后称为 黄金分割。
在同一卷中，给出了分已知线段为中外比的方法及有关的一些 性质。
a
q1
bq2
1.
a q21，b1q1 .
q2q1
q2 q1
从而斐波那契数列的通项为
F n= a q 1 n-1+ b q 2 n-1q q 2n 2 q q 1 1 n1 5 1 25 n 1 25 n
随着数列项数的增加，前 一项与后一项之比越逼 近
0.6180339887……
菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的，仔细 观察向日葵的果实排列，你会发现两组螺旋线一组顺时针盘 绕，另一组逆时针盘绕，并且彼此镶嵌。虽然不同品种的向 日葵顺、逆时针和螺旋线的数量不同，但都不会超过34和55、 55和89、89和114这三组数字。尽管这些顺逆螺旋的数目并 不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻 数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、 最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化 过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响， 真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
在第二卷（讲面积）、第四卷（讲五边形）中也有所应用。
第八卷整卷在讲正十二面体、正二十面体的构成时，反复地利用了 黄金分割及有关的性质（中译本计39页）。
考虑到欧几里德只是系统总结了当时几何学已有的成就，有关黄金分割 的概念和知识很可能在2500年前就已经有了。
2500年前古希腊数学家毕达哥拉斯
但这样古老的数学内容不仅没有被历史的 演变和科学的进步所淘汰，相反，却永葆青春， 并越来越引起人们的注意和重视。
自然界美丽的主宰者
——斐波那契数列与黄金分割
1:1.618 ≈0.618
=0.68 948 482 …… …
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯
公元前3世纪古希腊数学家欧几里得
现在我们中学里学的几何学，本质上还是 以《几何原本》为蓝本的.《几何原本》的 手稿今已失传，现在看到的各种版本都是 根据后人的修改本、注释本或翻译本重新 整理出来的，但和《红楼梦》只传下来大 半部手稿的情形不同，基本上仍保留了原 来的内容和状态。
———黄金分割数
Fn
1512
n5Leabharlann 125n 黄金分割的精确表示
limFn 510.618033989
F n n1
2
————黄金分割数
黄金分割和斐波那契数列关系非常密切，它们是 数学家玩的数学游戏吗？是数学家凑出来的吗？
不是！！！
大自然中的斐波那契数列
与黄金分割
花瓣的数目
1个花瓣的 马蹄莲， 2个花瓣的 虎刺梅， 3个花瓣的 延龄草， 5个花瓣的 飞燕草， 8个花瓣的 大波斯菊， 13个花瓣的 瓜叶菊