《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
当前，由于科学技术的快速发展和计算机的广泛应用，学习和掌握计算机上常用的数值计算方法及有关的基础理论知识，并能用某种高级语言（如Matlab语言）将这些常用算法编程实现，这对于计算机专业的学生来说是非常重要的。
本课程着重介绍进行科学建设所必须掌握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校有关专业的学生普及计算方法的知识。
二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）教学内容1．引论数值分析的研究对象、误差及有关概念、数值计算中应注意的一些原则。
2．线性代数方程组的数值解法Gauss消去法、Gauss消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。
3．插值方法Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次样条插值、数据拟合的最小二乘法。
4．数值积分与微分机械求积、Newton-Cotes求积公式、复化求积、Romberg求积算法、Gauss求积公式、数值微分。
5．常微分方程初值问题的数值解法Euler方法及其改进、龙格-库塔(Runge-Kutta)方法、线性多步法、收敛性与稳定性、一阶方程组与高阶方程。
6．方程求根的数值方法二分法、迭代法、迭代过程的加速、Newton迭代法、Newton迭代法的几种变形。
（二）基本要求1．了解数值分析的研究对象、掌握误差及有关概念。
2．正确理解使用数值方法求方程的解的基本思想、数学原理、算法设计。
3．了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解每一种算法的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。
4．掌握数值积分的数学原理和程序设计方法。
5．能够使用数值方法解决一阶常微分方程的初值问题。
6．理解和掌握使用数值方法对线性方程组求解的算法设计。
（三）学时分配本课程的理论教学时数为54学时分配如下表：（四）课程内容的重点、难点重点：Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次样条插值、机械求积、Newton-Cotes求积公式、复化求积、Romberg求积算法。
难点：Gauss消去法、Gauss消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。
三、课程改革与特色本课程是一门重要的专业基础课。
数值计算方法既是一门古老的学科，又是一门新兴的学科。
电子计算机的产生和发展极大地促进了数值计算方法的发展。
只有把数值计算方法和程序设计紧密结合起来，把算法变为计算机能直接执行的程序，才能真正使计算机帮助人们解决各种复杂的计算任务。
本课程试图将数值计算方法和程序设计方法学融为一体，这也是一种尝试。
四、推荐教材及参考书推荐教材：《计算机数值方法》（第三版），主编：施吉林、刘淑珍、陈桂芝，出版社：高等教育出版社，出版时间：2005年3月参考书：《数值计算方法和算法》，主编：张韵华、奚梅成、陈效群，出版社：科学出版社，出版时间：2002年3月《Numerical Analysis》，主编：Richard L.Burden ，出版社：高等教育出版社影印，出版或修订时间：2003《数值分析》，主编：金聪、熊盛武，出版社：武汉理工大学出版社，出版时间：2003年8月第一章绪论一、教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生对了解涉及工程和科学实验中常见的数学问题，其中包括线性方程组、函数插值、离散数据的拟合、微积分、微分方程等，这些问题是其他数学问题的基础。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的研究对象及误差的概念。
具体内容如下：第1-2学时讲授内容：计算方法的研究内容、对象与特点；误差的基本概念。
三、教学重点难点1．教学重点：误差、误差种类；误差分析：误差与有效数字的关系。
2. 教学难点：误差分析、误差与有效数字的关系。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
第1讲绪论基本求解步骤数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。
在数学模型中，往往包含了若干参量，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的误差。
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。
例132()3426p x x x x=+-+计算多项式的值。
23,1x x x由计算出后再进算法：行计算。
需乘法5次，加法3次。
()[(34)22]6p x x x x =+-+算法：需乘法3次，加法3次。
一般地，计算n 次多项式的值1110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++如若按k k a x 有k 次乘法运算,计算()n P x 共需()1122n n n ++++=次乘法和n 次加法运算。
采用：秦九韶算法(1247) 有递推公式: 1210()(((())n n n n P x x x xx a x a a a a --=+++++ 从内往外一层一层计算，社层表示第k k vk n k n n n k a x a x a x a v -+--++++=)...)(...(11⎩⎨⎧=+=--nkn k k a v a x v v 01 需乘法n 次，加法n 次，存储单元n+3个。
对算法所要考虑的问题,包括如下:计算速度例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则要进行209.710⨯次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
YN开始输入n a a a (10)1,⇐⇐k a v nk n a vx v -+=k=n 输出v结束k k ⇒+1存储量大型问题必要考虑计算机的数据存贮。
数值稳定性在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。
实际算法往往表现为某种无穷递推过程 算法的精度控制方程根的二分法求解*],[0)(],[)(0)()(],[)(x b a x f b a x f b f a f b a x f 定实根为内一定有唯一实根。
假在即方程内一定有实的零点，在，根据连续函数性质，上单调连续，在=<20ba x +=若0)(0=x f ，则0x 为所求根否则若0)()(0<x f a f ,则根在区间],[0x a ，取011,x b a a == 若0)()(0<x f b f ,则根在区间],[0b x ，取b b x a ==101,...],[...],[],[11⊃⊃⊃⊃k k b a b a b a每一区间为前一区间的一半，有根区间],[k k b a 长度)(21a b a b kk k -=- )(21)(211*a b a b x x k k k k -=-≤-+ §1.2 预备知识和误差(1) 误差的来源实际问题→建立数学模型→研究计算方法→编程上机计算解结果。
模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。
测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。
截断误差: 模型的准确解与某种数值方法的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。
如：π、1／3，……取小数点8位、16位。
[截断误差的实例]2311111,2!3!!x ne x x x x n e -=++++++已知求的近似值，并估计误差。
解：利用展开式的前三项，取n=2，1211(1)(1)0.52e -≈+-+-=000()(1)1000()()'()()()()()()!(1)!n n n n Taylor f x f x f x x x f x f x x x x n n ξ++=+-++-+-+由公式：1(),01(1)!n x n x R x e n θθ+=<<+11210.5 1.7*103!R e --=-≤<截断误差为：0.17[舍入误差的实例]590472.1066.1492.1=⨯，设在一台虚构的4位数字的计算机上计算590.1066.1492.1≈⨯，舍入误差为 0.000472。
数值计算方法主要讨论截断误差和舍入误差的影响,不讨论模型误差和测量误差。
三、误差的基本概念 (1) 误差与误差限误差不可避免，设以x 代表数*x 的近似值，称*x x e -=是近似值x 的绝对误差。