Kd=0.053 h-1=1.27 d-1
-1
-1
5、网格法
假定有n个等定参数，且已 知各参数的取值范围，把各搜索 区间（取值范围）分成若干个等 分，则参数空间
θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若 干网格，计算所有网格顶点上的 目标函数值，并取其中最小的值 所对应的参数值作为最优估计值。
状态变量对参数的灵敏度为：
目标函数对参数的灵敏度为： 式当中△△△θxθ==0x时θ――，x忽*θ0略△高z阶= 微z―分z*项得：
例：已知某河段的BOD 降解规律 可用下式表示：
L = L0 e-Kdt
若已知河段初始的BOD浓度L0 =15mg/l, BOD衰减速度常数 Kd=0.1 d-1,假定Kd的变化幅度在 ±10%,试求t=2d时的BOD值及其 变化幅度。
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
y = A eb/x 式中A＞0
ln y = ln A+ b /x 令 Y= ln y , a = ln A , X =
1/x 则 Y= a +b X 3．对数函数
y = a + b lnx 令 Y= y , X = ln x
4.幂函数
y=AXb
(A＞0)
lny=lnA+blnx
令 Y= ln y , a = ln A , X = ln x
e ka
(36
/ 4)
)
6 . 1
2
10
20 k d ka kd
(e kd (56 / 4)
e ka
(56
/ 4)
)
7.2
用一阶梯度法，据前述的七步， 编制计算机程序，给定初值， K0d=1.0d-1=0.042h-1 ， K0a=2.0d1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时，得 到参数的最优估计值:
常数Ka。
2
解：首先，建立目标函数 Z (k d , k a )
10
20 k d ka kd
(e kd (8 / 4)
e
ka
(8 /
4)
)
8.5
2
10
20 k d ka kd
(e kd (28 / 4)
e ka
( 28
/
4)
)
7.0
2
10
20 k d ka kd
(e kd (36 / 4)
对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
第七步 ，比较Z1和Z0
若
，则停止运算，并
输出参数的估计值θi1
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差 （也称截断误差）要视目标函数 的绝对值大小而定。用最优化方 法估值时，要由经验给定参数的 初值。
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月4日星期 四2021/3/42021/3/42021/3/4
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
下面仅介绍一下状态变量 和参数的数目都是1时的灵敏度 分析。
若决策变量（污染物排放 量等）保持不变，则状态变量x 和目标Z均可表示为参数θ的函数：
x* = f (θ0) , Z* = f (θ0)
x*和Z*分别表示参数θ取θ0 值的状态变量值和目标函数值。
灵敏度的定义为：
在θ=θ0附近，状态变量（或目 标）相对于原值的变化率和参数 θ相对于 θ0的变化率的比值称为 状态变量（或目标函数）对参数 的灵敏度，即：
常用e0..5的10%作为水质模型 验证标准，还有用绝对中值误差 的。(公式分母中yi去掉)
利用相关系数、相对中值 误差和绝对中值误差等验证方法 还可验证所用参数估值方法哪种 效果更好些。
三、数学模型的灵敏度分析
由于环境系统是一个开放性 系统，各种影响非常复杂，很难精 确定量，各种数学模型存在着不确 定性（有许多假设），模型中的参 数也有误差，因此，利用模型进行 的模拟和规划的真实性，可靠性究 竟如何，如何对此做出估计，换言 之，状态变量对参数的灵敏度如何， 目标函数对参数的灵敏度如何以及
3、相对误差法
ei=∣yi-yi ∣ /yi
n组观测值与相应计算值 数据可得n个误差值，将这n个误 差值从小到大排列，可以求得小 于某一误差值的误差的出现频率
通常采用中值误差（累积频 率为50%）作为衡量模型精确度的 度量。
中值误差与统计学上的概率误差是 一致的。
中值误差可从误差分布的累 积曲线上求出，也可按下式计算：
偏差的平方和最小意味着各 个点的偏差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
3、多元线性回归： 建立目标函数：
使其最小（ Z min）。 对一个连续可微的目标函数可采
梯度法的步骤如下： 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ
• 除经验公式外，其余方法均是利用 系统输入输出数据和数学模型本身 确定合理的参数数值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的 公式，均可用图解法估计参数，其
2、一元线性回归分析法 亦称最小二乘法 该法有两个假定：
①所有自变量的值均不存在误差， 因变量的值则含有测量误差； ②与各测量点拟合最好的直线为能 使各点到直线的竖向偏差（因变量 偏差）的平方和最小的直线。
6、经验公式计算法 如：河流的复氧速度常数，大气扩
散方程中的方差等。除经验公式 计算法外，其余方法均应有自度 量和因变量的实测输入输出数据， 注意使用条件，范围。
二、模型的验证与误差分析
验证所用的数据应与参数估值 时所用数据独立，以模型的计算结 果和实测数据之间的吻合程度来判 断。
常用方法：
1、图形表示法
则 Y= a +b X
5. S曲线
y= 1/ (a+be-x ) , 1/y=a+be-x
值得注意的是，广义线性 函数的剩余平方和、剩余标准差 和相关系数应以原y模式求。
还有一些广义线性函数，不 再列举。可按此思路处理。
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
观测值为横坐标，计算值为纵 坐标，据各自变量可得上面相应的 两值。
由于环境系统问题的复杂性，
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算 值的平均值。r越大相关关系越 好（0≤ r ≤1）。
当对y=α+βy‘+ε 作回归 分析证明α=0和β=1时用相关系 数验证才有实际意义。ε表示计 算值y和实测值y’之间的误差。
例：已知河流沿程的溶解氧（DO） 的测定数据如下：
X(km)
08
28 36 56
DO(mg/l) 10.0 8.5 7.0 6.1 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱 和溶解氧（Cs）为10.0mg/l，河
流平均流速为Ux=4.0km/h,由S-P
模型可知河流溶解氧的变化规律
试确定其中的耗氧速度常数Kd和 得氧速度
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 2:25:29 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/42021/3/42021/3/4M ar-214- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/42021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
BOD对Kd的一阶灵敏度系数为： BOD对kd的灵敏度为：
已知： △ Kd/ Kd0=± 10%，所以 BOD的变化幅度为：
变化与Kd的变化方向相反。 因为2%＜10%, 所以属低灵敏 度模型。
1．双曲线函数
2．指数函数 y = A ebx 式中A＞0 ln y = ln A+ b x
令 Y= ln y , a = ln A , X = x 则 Y= a +b X
1°,θ 2 °, …θm °, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯 度。
在函数的形式比较复杂，不易 求得梯度的解析式时，可以计算其 数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海 森矩阵 。
对于复杂的数学表达式，海 森矩阵的解析值很难计算，可以 数值梯度来近似的解析值。
环境系统分析
第8讲
第四章 数学模型的参数估计及灵敏 度分析
前章所述的一些解析模型常用于环 境质量的模拟预测和控制规划
一维解析模型广泛地用于各种河流 的水质模拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中 普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解 析模型可用来模拟河流的水质
一、 模型参数的估值方法
• 有经验公式，图解法，最小二乘法 和最优化方法等估值方法
灵敏度分析可以估计模型计算 结果的偏差，且还有助于建立低 灵敏度系统，（这种系统在运行 上比较可靠），有助于确定合理 的设计裕量，这比盲目给定安全 系数要合理得多。