图4—2b线性跟驰模型框图表示
第二节稳定性分析
本节讨论方程（4—10）所示线性跟驰模型的两类波动稳定性:局部稳定性和渐进稳定性。
局部稳定性:关注跟驰车辆对它前面车辆运行波动的反应，即关注车辆间配合的局部行为。
渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现，即车队的整体波动特性，如车队头车的波动在车队中的传播。
——车头间距变化量。
时，车头间距以非波动形式变化，从式（４—1３)可知车速从 变为 时其变化量为 。如果头车停车,则最终速度 ,车头间距的总变化量为 ，因此跟驰车辆为了不发生碰撞,车间距离最小值必须为 ,相应的车头间距为 （ 为车辆长度)。为了使车头间距尽可能小， 应取尽可能大的值，其理想值为 。
线性跟驰模型相对较简单，图4—１为建立线性跟驰模型的示意图。
图4—1线性跟驰模型示意图
图中各参数意义如下：
—— 时刻车辆间的车头间距；
——反应时间 内 车行驶的距离；
—— 时刻 车的位置；
—— 时刻 车的位置；
——反应时间或称反应迟滞时间；
—— 车的制动距离；
—— 车的制动距离；
——停车安全距离。
从图中可以得到：
图４—３头车加速度波动方式及对两车运动的影响
ﻩ
图4—4不同C值对应的车头间距变化
对于一般情况下的跟驰现象(不一定为车队启动过程或刹车过程），如果跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为 和 ,那么有
（4—12）
式中： ——跟驰车辆的加速度。
从方程（4—１０）我们得到
也即
(4—1３)
式中: 、 ——分别为头车和跟驰车辆的速度;
二、车辆跟驰行驶过程的一般表示
跟驰理论的一般形式可用传统控制理论的框图表示,见图4—2a。式(4—11）所示的线性跟驰模型表示为图4—2b，图中驾驶员行为由反应时间和反应强度系数代替。完善的跟驰理论应包括一系列方程,以便建模描述车辆及道路的动态特性、驾驶员的生理心理特性以及车辆间的配合。
图4—2a车辆跟驰框图表示
一、线性跟驰模型的建立
跟驰模型实际上是关于反应—刺激的关系式，用方程表示为:
反应 = ·刺激 （4—4)
式中 为驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系数。驾驶员接受的刺激是指其前面引导车的加速或减速行为以及随之产生的两车之间的速度差或车间距离的变化；驾驶员对刺激的反应是指根据前车所做的加速或减速运动而对后车进行的相应操纵及其效果。
感知阶段：驾驶员通过视觉搜集相关信息，包括前车的速度及加速度、车间距离（前车车尾与后车车头之间的距离，不同于车头间距)、相对速度等;
决策阶段:驾驶员对所获信息进行分析,决定驾驶策略；
控制阶段：驾驶员根据自己的决策和头车及道路的状况,对车辆进行操纵控制。
线性跟驰模型是在对驾驶员反应特性分析的基础上,经过简化得到的。
(４—3)
式中: 、 ——分别为跟距以外,还可用于从微观角度对车辆跟驰现象进行分析,近似得出单车道交通流的宏观特性。总之，跟驰理论是连接车辆个体行为与车队宏观特性及相应流量、稳定性的桥梁。
第一节线性跟驰模型的建立
单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在1０0～１25ｍ以内时车辆间存在相互影响。分析跟驰车辆驾驶员的反应，可将反应过程归结为以下三个阶段：
(4—1)
式中: ——单车道通行能力(ｖｅh/h）;
——速度（ｋm/h);
——平均车头间距（m)。
研究表明，速度—间距的关系可以由下式表示:
(4—2)
式中系数 、 、 可取不同的值,其物理意义如下:
——车辆长度, ;
——反应时间， ;
——跟驰车辆最大减速度的二倍之倒数。
附加项 保证了足够的空间,使得头车在紧急停车的情况下跟驰车辆不与之发生碰撞, 的经验值可近似取为0.023s２/英尺。一般情况下 是非线性的,对于车速恒定（或近似恒定)、车头间距相等的交通流, 的近似计算公式可取为：
(４—5)
(4—6)
假设两车的制动距离相等，即 ,则有
(４—7)
由式（4—5)和式(４—6）可得
（4—8）
两边对 求导,得到
（４—９)
也即
1,2,3,… (4—10)
或写成
1,2,3,… (4—11）
其中 。与式(４—４)对比，可以看出式(4—11)是对刺激—反应方程的近似表示:刺激为两车的相对速度;反应为跟驰车辆的加速度。
交通流理论第四章
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第四章跟驰理论与加速度干扰
本章将主要讨论单车道情况下的车辆跟驰现象，介绍跟驰理论,建立相应的跟驰理论模型,最后简要介绍一下加速度干扰问题。
跟驰理论是运用动力学方法研究在限制超车的单车道上,行驶车队中前车速度的变化引起的后车反应。车辆跟驰行驶是车队行驶过程中一种很重要的现象,对其研究有助于理解交通流的特性。跟驰理论所研究的参数之一就是车辆在给定速度 下跟驰行驶时的平均车头间距 ，平均车头间距则可以用来估计单车道的通行能力。在对速度—间距关系的研究中,单车道通行能力的估计基本上都是基于如下公式：
式(4—9)是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间 内速度不变等假定下推导出来的。实际的情况要比这些假定复杂得多,比如刺激可能是由前车加速引起的，而两车在变速行驶过程中驶过的距离也可能不相等。为了考虑一般的情况,通常把式(4—１０)或式(4—11)作为线性跟驰模型的形式，其中 不一定取值为 ，也不再理解为灵敏度或灵敏系数,而看成与驾驶员动作强度相关的量，称为反应强度系数，量纲为 。
一、局部稳定性
根据研究,针对 ( 、 参数的意义同前）取不同的值，跟驰行驶两车的运动情况可以分为以下四类：
a) 时，车头间距不发生波动；
b) 时,车头间距发生波动，但振幅呈指数衰减;
c) 时,车头间距发生波动，振幅不变；
d) 时，车头间距发生波动，振幅增大。
对于 的情况,利用计算机模拟的办法给出了相关运动参数的变化曲线（其中反应时间 ， ),如图４—３。模拟过程中假定头车的加速和减速性能是理想的,头车采取恒定的加速度和减速度。图中实线代表头车运动参数的变化,虚线代表跟驰车辆运动参数的变化,其中的“速度变化”是指头车和跟驰车辆分别相对于初始速度的变化值,即每一时刻的速度与初始速度之差。图４—4中给出了另外四个不同 值的车头间距变化图, 分别取阻尼波动、恒幅波动和增幅波动几种情况的值。