第一节 二次根式的概念和性质
回顾
1、平方根的概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
2、平方根的特征
正数有两个平方根且互为相反数； 正数a的两个平方根为 a 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
3、 a 表示什么？
表示非a (a≥0)的代数式叫做二次根式。读作 “根号 a”,其中 a 是被开方数
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
性质 1：当 a>0 时， a = 当 a=0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 =
2
2
2
a ；
0
-a
。
思考：
a 与 a 有什么关系？
a
2
a
算一算：(1) (3)
（-9） 64
2
(2)
1 2 ( ) 3
(4) (x2+1)2
性质 1： a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
性质 2：( a ) = a (a≥0)
2
例题2: 求下列二次根式的值 (1) (3)
(10) ( 15)
2 2
(2)
(3 )
2
x 2x 1 ， 其中x 3
5、 x-3 + 4-x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a ) a
2
(2)
(3)
( a ) a
2
(a 2) 2 a
2
练一练:
化简: x 6 x 9 x 2 x 1
2 2
(其中-1 x 3)
课本 第 4页 练习１和2
性质 2：( a ) = a (a≥0)
扩展：
非负数的算术平方根仍然是非负数。 a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
(2) 2 - x
解 (1)由２x－１≥０, (2)由２－x≥０,
得x≥０.５ 得x≤２
1 (3) x
(4) 1 + x 2
所以，当x ≥０.５时，
2 x - 1有意义
所以，当x ≤ ２时， 2 - x有意义 1 (3)由 ≥０, 及x≠０, 得 x＞０ 所以当x＞０时，
x
1 x
有意义
(4)不论x为何实数，都有１＋x 2＞０ 2 x 1 有意义 所以，当x取任何实数时,
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课堂小结
1、什么叫做二次根式？
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？
性质 1： a a
2
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
0 0..04 04,,
a 2a 3, 3 5, a
2 2
a, ,
3
8,
m 0), 0), m((m m
xy ( x, y异号)
a 1,
2
a
有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 设x是实数，当x满足什么条件时,下 列根式有意义?
(1) 2 x - 1
③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的性质
想一想在平方根的学习中， 什么?请举例验证.
a a 0 等于
2
性质：
a
2
a , ( a 0)
试一试（3）计算:
3
2
= 3
5 = 5 2 2
2

0.04 = 0.04

2
想一想： a 等于什么呢？
2
比较分析

a a
2
和
a2 a2

读法
2
根号a的平方
根号下a平方
运算顺序
a的取值范围 运算结果
先开方,后平方 先平方,后开方 a≥0 a a取全体实数 ∣a∣
（默6） 二次根式的性质及它们的应用:
（1） （2）
(a a) a a, (a 0)
2
2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
x-2 思考：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
得 x ≥2 且 x ≠3 。
x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件？
x≥2
说一说
求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
特征：1、形式上含有二次根式 ；
2、a可以是数，也可以是式（整式，分式）。 3、被开方数 a 0 ，且 a 0 。（双重非负性）
例如
2 2, , a 2 1, b2 4ac (b2 4ac 0), 3 1 ( x 2) 等，都是二次根式 x2
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？