2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a aA ．21 B ．32 C ．23D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是 A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A ． 16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是A ． 10B ．5C ．310D ．25 8. 设函数1)(--=x ax x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截 面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A ．22B ．23C ．2D ．310. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 11. 若5)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-, 则实数a 的值是__________. 12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是_____________.13. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动, 且y x +=,则x 的取值范围是__________; 当21-=x 时, y 的取值范围是__________. 16.如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记.(Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.图2OABPM图3CDBA17.某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0,计算(结果精确到01.0);(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 . 18.如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB (Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ;(Ⅱ) 求异面直线PQ AQ 与所成的角;(Ⅲ) 求点P 到平面QAD 的距离. 19．已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足: 101<<a , a n+1=f (a n )， ,3,2,1=n 证明： (Ⅰ) 101<<<+n n a a ; (Ⅱ) 3161n n a a <+ .D图4CBAQ P20．对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:）物体质量（含污物）污物质量-1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++, 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21．已知椭圆134:221=+y x C , 抛物线)0(2)(:22>=-p px m y C , 且21,C C 的公共弦 AB 过椭圆1C 的右焦点 .(Ⅰ) 当轴时x AB ⊥, 求p m ,的值, 并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ) 是否存在p m ,的值, 使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上? 若存在, 求出符合条件的p m ,的值; 若不存在, 请说明理由 .2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案1.D ；2.A ；3.D ；4.A ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.C ； 10.B ； 11.2-； 12.5； 13.34； 14.(1，1-) ； 15.(,0-∞) ,13(,)22； 16、解 (I)如图, 因为(2)2222BAD πππαπββ=-∠=--=-，所以 sin sin(2)cos 22παββ=-=-，即 sin cos 20αβ+=。

（II ）在ADC 中,由正弦定理得sin sin()DC AC απβ=-，即3sin DC DCα=。

所以sin 3sin a βα=。

由（I），sin cos 2a ββ=-，所以2sin 3cos 23(12sin )a βββ==--。

即223sin sin 30ββ--=，解得3sin 2β=或3sin 3β=-。

因为02πβ<<，所以3sin 2β=， 从而3πβ=。

17、解（I ）每家煤矿必须整改的概率是1—0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是223155(10.5)0.50.3116P C =⨯-⨯==。

（II ）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项公布(5,0.5)B ，从而ξ的数学期望是50.5 2.5E ξ=⨯=，即平均有2.50家煤矿必须整改。

（III ）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是2(10.5)(10.8)0.1P =-⨯-=，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是3310.90.41P =-=18.解法一（Ⅰ）连接AC 、BD ，设AC ⋂BD ＝O 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，(0,22,0)B(22,0,2),(22,0,1),PB =--=--所以AQ于是3cos ,9AQ PB AQ PB AQ PB <>==从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3arccos（Ⅲ）由（Ⅱ），点D 的坐标是(0,22,0),(0,22,22,0)AD -=--，(0,0,3)PQ =-，设n ＝（x,y,z ）是平面QAD 的一个法向量，由02000n AQ x z x y n AQ ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩得1,(1,1,2)32x n PQ n P QAD d n==--⋅==取得所以点到平面得距离解法二（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM,QM, 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM,AD ⊥OM(2,0,2),(0,22,1),3cos ,,93arccos9AQ PB AQ PB AQ PB AQ PBAQ PB =--=-<>==-所以于是从而异面直线与所成的角是 （Ⅲ）由（Ⅱ），点D 的坐标是(0,22,0),(22,22,0),(0,0,3),.32(,,)AD PQ PQ n n x y z QAD d n-=--=-===设是平面的距离解法二（Ⅱ），点D 的坐标是(0,22,0),(22,22,0),AD -=-- (0,0,3)PQ =-2(,,),0n AQ x zn x y z QAD x y n AD ⎧⎧⋅+⎪⎪=⎨⎨+=⎪⋅⎪⎩⎩设是平面的一个法向量由得1,(1,1,2).x n ==--取得.32.2PQ n P QAD d n==所以点到平面的距离 解法二（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM ，QM.因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM,AD ⊥QM 从而AD ⊥平面ABCD 。

（Ⅱ）连接AC,BD,设AC ⋂BD ＝0，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在 PQ 上，从而P ，A ，Q ，C. 取OC 的中点N ，连接PN11,22PO NO NO OQ OA OC ===因为所以 ,//,PO NOAQ PN BPN OQ OC=∠从而（或其补角）是异面直线，AQ 与PB 所成的角，连接BN ， 因为222(22)13PB OB OP =+=+=．222(2)13PN ON OP =+=+= 2222(22)(2)10BN OB ON =+=+=19.（本小题满分14分） 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1(),1,2,3n n a f a n +==……证明：（Ⅰ）101n n a a +<<< （Ⅱ）3116n n a a +<证明 （Ⅰ）先用数学归纳法证明01,1,2,3,na n <<=……当1n =时，由已知，结论成立。