4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数学注意事项:1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分.1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=.2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z=2 3 cA『炉33. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G-0 1 c 2 （ y=5 x. J JC2=•4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=•5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=.6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为.7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为.10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f2（x） +" （x）的最大值为.11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结2015X果用数值表示）.12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）.13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔VX2<・・・ VxmW6rt ,且|f （Xi） - f （x2） | + |f （x2） - f （x3） |+・・・+|f （x ra-i） - f （xQ |=12 （m\12, mGN*）,则m 的最小值为.14. （2015）在锐角三角形ABC中，tanA=l, D为边BC上的点，AA BD与AACD2的面积分别为2和4.过D作DE1AB于E,DF±AC于F,则瓦=.二、选择题（本大题共有4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （5分）（2015）设乙，z2ec,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZLZ2是虚数"的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件）C. _11 ~2D. 13 ~216. （5分）（20159已知点A的坐标为（4/, 1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋转_2£至0B,则点B的纵坐标为（3A. 3V3B.蛛F F17. （2015）记方程①：x2+a lX+1=0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0,其中印，a2, a’是正实数.当司，a2, a’成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18. （5 分）（20159 设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（nEN*）与圆x2+y2=2 在n+1y _ 1第一象限的交点，则极限lim-n二二（）n—8% 1A・-1 B. _1 C. 1 D. 2三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （12 分）（2015）如图，在长方体ABCD-ABC0 中，AA户1, AB=AD=2, E、F 分别是AB、BC的中点，证明用、G、F、E四点共面，并求直线CD】与平面A.C.FE 所成的角的大小.BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f (t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.(1) 求b与千(七)的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求千(t)的表达式，并判断f (t)在［七，1］上的最大值是否超过3?说明理由.21. (14分)(2015)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线L和I?分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1) 设A (Xl, y(, C (x2, y2),用A、C的坐标表示点C到直线L的距离,并证明S=21 Xiy2 - x2yi |:(2) 设L与12的斜率之积为-上求面积S的值.222. (16 分)(2015)已知数列｛aj 与｛b』满足a^-a户2 (b n+1-b n), nEN*.(1) 若b=3n+5,且aB,求数列｛aj的通项公式;(2) 设｛aj的第n°项是最大项，即a . ^a n (nGN*),求证：数列｛bj的第n。
n o项是最大项；(3) 设a户入VO, b = X n (nEN*),求X的取值范围，使得｛a』有最大值M与最小值m,且』£ ( - 2, 2).IT23. (18分)(2015)对于定义域为R的函数g (x),若存在正常数T,使得cosg(x )是以T为周期的函数，则称g (x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知千(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f (x)单调递增, f (0)=0, f (T)=4n.(1) 验证g (x) =x+sin—是以6n为周期的余弦周期函数；3(2) 设a<b,证明对任意cE [f (a), f (b)],存在[a, b],使得千(x0) 二c;(3) 证明：“u。
为方程cosf (x)=1在[0, T]上得解，”的充分条件是“u°+T为方程cosf (x)=1在区间[T, 2T]上的解"，并证明对任意xG [0, T],都有f(x+T) =f (x) +f (T).2015年市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题，满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.1. （4 分）（20159 设全集U = R.若集合A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3},则A ng {1,4}.知识归纳：交、并、补集的混合运算.名师分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可. 名师讲解：解：・.•全集U=R,集合A={1, 2, 3, 4}, B={x|2WxW3},:.(CuB) ={x|x>3 或xV2},/.An (CuB) =(1, 4},故答案为:(1, 4}.名师点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键.本题考查了推理判断的能力.2. (4分)(2015)若复数z满足3z+三二1 + i,其中i是虚数单位，则z=知识归纳：复数代数形式的乘除运算.名师分析：设zr+bi,则三二a-bi (a, bER),利用复数的运算法则、复数相等即可得出. _名师角髻：解：设z=a+bi,则三二a-bi (a, bGR),又3z+三二1 + i,A3 (a+bi) + (a-bi)= 1 + i,化为4a+2bi=1 + i,A4a=1, 2b=1,解得a--, b=L4 2故答案为：—-pii-4亍名师点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题.『2 3、) J*3. (4分)(2015)若线性方程组的增广矩阵为解为 ,则G-C2=(0 1 c2；ly=516・知识归纳：二阶行列式与逆矩阵.(Y-Q2x+3y= Ci名师分析：根据增广矩阵的定义得到 a',是方程组1的解，解方程(y=5 [y=c2组即可.(乂-3 f2x+3y= ci名师解答：解：由题意知J。
，是方程组1的解，(y=5 [y=c2f Ci=6+15=21即■，*-5则G - C2=21 - 5=16,故答案为：16.名师点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.4. (4分)(2015)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16如，则a=4 .知识归纳：棱锥的结构特征.名师分析：由题意可得(La・a・sin60° )・a二16扼，由此求得a的值. 2名师解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为—•a«a*sin60° ,正棱柱的高为a, 2/. (—•a^a^sin60° )・a= 16扼，二4,2故答案为：4.名师点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.5. (4分)(2015)抛物线y』2px (p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,贝p= 2 .知识归纳：抛物线的简单性质.名师分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.名师解答：解：因为抛物线y2=2px (p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以卫二1,2所以p=2.故答案为：2.名师点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.6. (4分)(20159若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n,则其母线与轴的夹角的大小为—.—3-知识归纳：旋转体(圆柱、圆锥、圆台).名师分析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,由已知中圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n,可得I二2h,进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案. 名师解答：解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,则圆锥的侧面积为：n r I,过轴的裁面面积为：rh,..•圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,/. I=2h,设母线与轴的夹角为6,则cos e旦旦，1 2故6=—,3故答案为：2L.3名师点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的关键.7. (4 分)(2015)方程Iog2 (9x-1-5) =log2 (3x-1-2) +2 的解为2 .知识归纳：对数的运算性质.名师分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.名师解答:解:Vlog2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2, .\log2(9x-1-5)=log2[4X (3x-1-2)],A9x-1-5=4 (3x-1-2),化为(3X) 2-12«3X+27=0,因式分解为:(3x-3) (3x-9) =0,A3X=3, 3、=9,解得xF或2.经过验证：xF不满足条件，舍去..\x=2.故答案为：2.名师点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.8. (4分)(2015)在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 (结果用数值表示).知识归纳：排列、组合的实际应用.名师分析：根据题意，运用排除法名师分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 名师解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C%6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126 - 6二12 0种；故答案为:120.名师点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法(间接法)，可以避免分类讨论，简化计算.9. (2015)已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为v二凶,则C2的渐近线方程为土寸____ •2知识归纳：双曲线的简单性质.名师分析：设G的方程为y2 - 3x2= \ ,利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程, 即可求出C?的渐近线方程.名师解答：解：设G的方程为y2 - 3X2= X ,设Q (x, y),则P (x, 2y),代入y2 - 3x2= \ ,可得4y2 - 3x2= X ,・.・C2的渐近线方程为4y2-3x2=0,即y=±^i x.2故答案为：y=±2/l x.2名师点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.10. (4 分)(2015)设 L (x)为f (x)=2、"+占，x e ［0, 2］的反函数，则y=f2(x) 4-f1 (x)的最大值为4 .知识归纳：反函数.名师分析：由f (x)=2'"+H在x《［0, 2］上为增函数可得其值域，得到2(x)在［【，2］上为增函数，由函数的单调性求得y=f (x) +千「(x)的最大值.4名师解答：解：由千（X）=2~+号在xE［O, 2］上为增函数，得其值域为弓，2］,可得y=L （x）在［% 2］上为增函数，4因此广千（x） +f 1（x）在口，2〕上为增函数，4Ay=f （x）+厂（x）的最大值为f （2） +f-1（2） =1+1+2=4.故答案为：4.名师点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题.11. （4分）（2015）在（1+x+—^-） e的展开式中，X?项的系数为45 （结果201 □X用数值表示）.知识归纳：二项式系数的性质・名师分析：先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有展开后的第一项含有X?项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求.名师解答：解：... （1+x+—10 2015 X二C。