1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C 1的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴45cos ,
55sin ,
x t y t =+⎧⎨
=+⎩t x 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为.
θρsin 2=（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

【解析】将消去参数，化为普通方程
⎩
⎨
⎧+=+=t y t
x sin 55cos 54t ,
25)5()4(22=-+-y x 即：.
1C 01610822=+--+y x y x 将代入得
⎩⎨
⎧==θ
ρθ
ρsin cos y x 01610822=+--+y x y x .
016sin 10cos 82=+--θρθρρ（Ⅱ）的普通方程为.
2C 0222=-+y y x 由，解得或.
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+0
2016108222
2y y x y x y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==20y x 所以与交点的极坐标分别为，1C 2C 4
,2(π
)
2
,2(π
2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P ，Q 都在曲线
C ： 上，对应参数分别为t=α
()2cos 2sin x t
t y t
=⎧⎨
=⎩为参数与=2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点.
t
（1）求M 的轨迹的参数方程.
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M 的轨迹
α是否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M 的坐标，
α可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点M 到原点的距离d,判断d 能否为0,可得
M 的轨迹是否过原点.
【解析】（1）依题意有因此
()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα.
()cos cos 2,sin sin 2M αααα++M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα
αα
=+⎧⎨
=+⎩(
)2ααπ<<为参数，0（2）M 点到坐标原点的距离
.
()02d απ==<<当时，，故M 的轨迹过坐标原点.
απ=0d =11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高
考理科·
Ｔ23）相同
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，
1C )(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ
⎩⎨
⎧==
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正
x 2C 2=ρ方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的
ABCD 2C ,,,A B C D A 极坐标为.
(2,)
3π
（1）求点的直角坐标.
,,,A B C D （2）设为上任意一点，求的取值范围.P 1C 2
2
2
2
PA PB PC PD +++【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A ，B ，C ，D 的坐标.（2）由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于
1C 的函数式，利用函数的知识求取值范围.
ϕ【解析】（1）由已知可得
，
2cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232A B ππππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
332cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭即
.
((
)(
),,1,,1A B C D
--(2)设
令
，则
()2cos ,3sin ,
P ϕϕ2
2
2
2
S PA PB PC PD
=+++ .
2216cos 36sin 16S ϕϕ=++23220sin ϕ=+因为
所以的取值范围是.2
0sin 1,ϕ≤≤S []32,5212.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩，
（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲OP 2OM = 线C 2.
(Ⅰ)求C 2的方程.
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点的交
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
【思路点拨】第（Ⅰ）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由
2OP OM =
ＭO P ,P 点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；
M 1C P 第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与
1C 2C 3
π
θ＝
的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求
＝1C A 1ρ3
π
θ＝2C B 2ρAB ｜｜即可.
21|ρρ-｜【精讲精析】（I ）设P(x,y),则由条件知M(
,22
x y
).由于M 点在C 1上，所以 即 2cos ,2
22sin 2
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x
y αα4cos ,44sin ,=⎧⎨
=+⎩x y αα从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩，
（α为参数）.（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.
射线3
π
θ=
与1C 的交点A 的极径为14sin
3
π
ρ=，
射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=.
所以.
11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为
ρ=2cos θ,θ∈.0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(1)求C 的参数方程.
(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线
垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定
D 的坐标.
【解题提示】(1)先求出C 的普通方程,然后再化为参数方程.
(2)利用C 的参数方程设出点D 的坐标,利用切线与直线l 垂直,可得直线GD 与直线l 的斜率
相同,求得点D 的坐标.
【解析】（1）C 的普通方程为 (0≤y ≤1).
()2
2
11x y -+=可得C 的参数方程为 (t 为参数，0≤t ≤π).
1cos sin x t
y t =+⎧⎨=⎩
（2）设D （1+cos t ,sin t ），由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与
l 的斜率相同，tan t ,t =
.
3
π
故D 的直角坐标为 ,即 .1cos
,sin
3
3π
π
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
32⎛
⎝10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,x t C y t αα=⎧⎨
=⎩
(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极
点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ
=2
cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.
(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2
-2
x=0.
联立，解得，或
x y y x y 2
2
22⎧+-2=0⎪⎨+-=0
⎪⎩x y =0⎧⎨=
0⎩x y ⎧=⎪⎪
⎨
3⎪=⎪⎩
2
2C 与3C 交点的直角坐标为和(,)0
0).3
2
(2)曲线C 1
的极坐标方程为θ=α
(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2
cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.。