数值分析（研究生，2008-12-15）
1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=1
0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式
x e a x a a x 210)(++=φ。

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。

同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。

3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,3
4.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。

用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2
π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。

请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T
x =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。

就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.
12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。

7.（10分） 求解矛盾方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++2
32328.12221321321
321321x x x x x x x x x x x x
8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分
⎰=2
1sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。

数值分析（研究生，2009-12-12）
1.（10分）求函数x x f =)(在区间[0，1]上关于权函数3
1)(x x w =的最佳逼近多项式.)(2cx bx a x ++=φ
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。

同时计算该矩阵的∞-条件数和谱条件数。

3.（15分）假定给出函数x x f sin )(=的等距点函数表)11(≤≤-x 。

若用二次抛物线插值求x sin 的近似值，要使截断误差不超过310-，问使用函数表的步长h 应取多少？
4.（15分）用Newton 迭代法求方程032=-x e x 在区间（0，1）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。

请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用SOR 迭代法解方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---042830261016321x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T
x =，估计达到精度达到310-需要的迭代次数，并实际计算之。

就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=++=+32,1222y z x e e x y xyz z xy
取T ]1,1,1[作为初始值，终止容限210-=ε。

7.（10分）
求数据（-1，2），（0，1），（1，2），（2，4）的最小二乘拟合.
)(210x a a x +=φ
8. （10分）用复合Simpson公式计算积分
⎰=10cos
f
I x
e
)
(xdx
讨论在误差要求不超过2
10-的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。