第三章稳恒磁场一、 填空题1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a μ=-<(柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.答案：0022JB J r re θμμππ=⨯=2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案： 12VA Jdv ⋅⎰3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流LA dl⋅⎰表示（ ）.答案：0lH dl ⋅=⎰或求解区是无电流的单连通区域4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.答案：033,44m R m RA R Rμϕππ⨯⋅==6、 在量子物理中, 矢势A 具有更加明确的地位,其中exp()ce iA dl h⋅⎰是能够完全恰当地描述磁场物理量的（ ）. 答案：相因子,7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.答案：e m B ⋅∇,e m B ⨯8、 电流体系()J x '的磁矩等于（ ）.答案：1()2vm x J x dv '''=⨯⎰9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰ 二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A⋅21 C. H B ⋅ D. J A ⋅ 答案：A2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A答案：D3、 引入磁场的矢势的依据是A.0=⨯∇H ;B.0=⋅∇H; C.0=⨯∇B ; D. 0=⋅∇B 答案：D 4、 电流J 处于电流eJ 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为eA ,则它们的相互作用能为A. e VA Jdv ⋅⎰ B.12e VA Jdv ⋅⎰ C. e e V A J dv ⋅⎰ D. VA Jdv ⋅⎰ 答案：A5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度;C. A 的散度始终为零; 答案： B6、 磁偶极子的矢势A 和标势ϕm分别等于A. 330,44ϕπμπ⨯⋅==m R m RA R R B. 033,44μϕππ⋅⨯==m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅==m R m RA R R答案：C7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯=. 答案：B三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下， 因稳恒电流是闭合的，则有0=⋅∇→J ，由电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇→t J ρ，知：0=∂∂tρ，即：)(→=r ρρ。

所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于→r 处ρ值大小由介质形状、大小等决定。

若是均匀导电介质,由0sJ dS ⋅=⎰⎰得, 0sE dS σ⋅=⎰⎰,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、 判定下述说法的正确性，并说明理由： （1） 不同的矢势，描述不同的磁场； （2） 不同的矢势，可以描述同一磁场； （3） 0B =的区域，A 也为零。

答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：→→→=⨯∇=∇+⨯∇B A A )(ϕ，说明：不同的矢势，可以描述同一磁场。

B=0的区域，若→A 可以表为某一函数的梯度，即ϕ∇=→A ，则亦满足0=⨯∇=→→A B ，所以矢势可以不为零。

3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是否相同？答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：→→=H B μ即μ→→=BH又：3()'()'44J x dv J rA xB A dv r r μμππ→→→⨯=⇒=∇⨯=⎰⎰所以'413dv r rJ H ⎰→→→⨯=π。

即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。

但若不满足以上条件，即非均匀介质或非静磁场，即0≠∂∂→tD则→H 一般不同。

4、 由12W B Hdv ∞=⋅⎰，12vW A Jdv =⋅⎰,有人认为静磁场的能量密度是12B H ⋅，有人认为是12A J ⋅，你怎么认为，为什么？ 答:能量密度是12B H ⋅而不是12A J ⋅，因为12v W A Jdv =⋅⎰仅对电流分布区域积分,磁场能量是分布于整个磁场中，而不是仅在电流分布区域内。

5、 试比较静电场和静磁场。

答: 静电场和静磁场的比较静电场：无旋场0E ∇⨯= 静磁场：无源场 0B ∇⋅=可引入标势φ： E ϕ=-∇ ， 可引入矢势：B A =∇⨯，,D D E ρε∇⋅== ，,H J B H μ∇⨯== ，微分方程 ερφ-=∇2 微分方程 J A μ-=∇2 边值关系 ：21ϕϕ=， 12A A=2121n nϕϕεεσ∂∂-=-∂∂ 能量 12v W d v ρϕ=⎰ 12vW A J d v =⋅⎰ 6、 描述磁场B 的、满足A ∇⋅=0的矢势，是什么性质的矢量场？它是否是唯一的？理由是什么？答：依题意有：0A BA →⎧⎪∇⨯=⎨⎪∇⋅=⎩知→A 为一个有旋无源的场，既为横场，但不是唯一的，还需→A 在边界上的法向分量。

7、 我们知道，在J =0的区域，磁场强度满足0∇⨯H =，如果我们把它表示成m ϕ∇H =-，此方程仍能成立。

试述这样引入m ϕ所存在的问题。

答：若对静磁场，0J =时，0=⨯∇→H ，在此引入m H ϕ-∇=→。

只考虑了0=→J 即没有自由电流分布，但只有在没有自由电流分布的单连通区域内H →的环量才为零，只有对任意回路, 都有0lH dl ⋅=⎰时, 0∇⨯H =一定成立,才可以引入磁标势。

8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷? 答:磁标势微分方程▽2φ= -ρm /μ0。

不是，这是一种假设,把电流圈看成磁偶极子，它即磁场是由磁偶极子产生的。

而磁偶极子可看成极性不同的两个“磁荷”形成，因而“磁荷”是磁偶极子的等效的假设。

9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？ 答：可以在除去以直长导线为边线的半平面以外的区域引入磁标势。

10、试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为()x M 的永磁体在空间激发的磁场，并证明所得结果是一致的。

答：①依磁荷观点：整个空间中0,0,0J H B →→→=∇⨯=∇⋅=由0H →∇⨯=引入m ϕ，即H 可表为m H ϕ=-∇00m B M μϕμ⇒=-∇+，其中()0=∇⨯∇m ϕ……⑴②依分子电流观点：M J M =∇⨯，而依照题意有：0f J =，0D J =，即：0B M μ∇⨯=∇⨯⇒BM ϕμ=-∇00B M μμϕ⇒=-∇且()0ϕ∇⨯∇=……⑵比较⑴⑵知，所得结果是一致的。

11、试说明：分布于有限区域的电流系，在R →∞时，其矢势A21R，其磁感应强度B31R 。

解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，∞→R 时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定即： )1(→A =2301~4RA R R m →→→⇒⨯πμ (1)(1)0331()~4R B A m B R R μπ→→→→→=∇⨯=-⋅∇⇒12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由其磁偶极势和场所决定。

因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。

试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效？解：设电流线圈电流为I.当场点离电流圈不是很远时，闭合电流的场不能等效为一个磁偶极子的场，，但闭合电流的磁场可看作线圈所围的一个曲面上许多载电流I 的无限小线圈组合而成,如图,磁场就是许多无限小线圈的磁场矢量和. 如图3-12dm IdS =3-12图13、有一很长的柱面，表面有均匀分布的电流沿轴向流动，有人为了求柱面内长度为l 的一段柱体之中的磁场能量，使用了如下的公式：12L W dv =⋅⎰A J 按此公式，由于柱内0=J ，因此磁场能0W =L 。

试问这样做对否？为什么？解：这样做显然是不对的，因为磁场能量应为1(2w B H dv →→=⋅⎰普遍式），12W A J dv =⋅⎰仅对总能量有意义，→→⋅J A 21并非能量密度。

14、 如何对小电流圈在远处的矢势作多极展开？试证明展开式的第一项0=(0)A ，第二项(1)A 可表为043R μπ⨯=(1)m R A ，其中'212m x 1dl =⨯⎰。

解：对小电流圈在远处的矢势，R 〉〉X →'时，则⋯⋯+∂∂∂+⋅∇-=∑→R x x x x R x R r ji j j i i 1''211'112.！ 又: 0(')A()'4j x x dv rμπ=⎰所以 0')'(4)(0)0(===→→→→→⎰⎰l Id dv x J Rx A πμ '1')'(40)1(dv Rx x J I A⋅∇-=→→→→⎰πμ对于一个闭合流管，有：''4'1'4300)1(→→→→→→⋅=⋅∇-=⎰⎰l d R R x I l d R x I Aπμπμ式中，3RR→与积分变量无关，且'→x 为线圈上各点坐标，则''→→=x d l d又由0'=⎥⎦⎤⎪⎭⎫⋅⎢⎣⎡ ⎝⎛→→→⎰x R x d （全微分绕闭合回路的线积分为零）得()''''0x R d l d l R x →→→→→→⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰11'''''''22x R d l x R d l d l R x x dl R →→→→→→→→→→→→⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤⎛⎫⋅=⋅-⋅=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎰⎰⎰所以3030)1(4''24RR m R l d x I R A →→→→→→⨯=⨯⎪⎭⎫⨯ ⎝⎛=⎰πμπμ，其中'2→→→⨯=⎰l d x I m 。