高二年级数学含参不等式
一、含参不等式的解法——分类讨论思想 1.由判别式△的符号引起的讨论
例1、01x 2
≤++ax x 的不等式解关于 2.由二次项的系数符号引起的讨论
例2、014)1m 2
≤+-+x x x 的不等式（解关于（本题须二次分类，先讨论开口再讨论△） 3.由根的大小引起的讨论
例3、0)(x x 3
2
2
>++-a x a a 的不等式解关于
牛刀小试：练习1. 解关于x 的不等式021
2>---x x ax
练习2。
解关于x 的不等式)1(,12
)
1(≠>--a x x a
二、含参不等式----恒成立问题求参
1、转换主元法：例1.若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
2
31x 2
71+<
<+
-
2、化归二次函数法：
例2、对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2
<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,21
例3、已知向量a =(x 2
,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的
取值范围。
t ≥5
例4、若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
2
1
m ->
3、数形结合法
例5、如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 例6、已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2
-a x
<
21恒成立，则a 的取值范围(] 2,11,21⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ 4、分离变量法
例7、在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2
4
(sin sin 4)(2
<-++
=m B f B B
B B f 且π
恒成立，求实数m 的范围。
]3,1(∈m
例8、已知函数()32f x x ax bx c =+++在2
3
x =-
与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
1c <-或2c >
三、含参不等式----存在性问题求参
例9已知两个函数2()816f x x x k =+-，
32
()254g x x x x =++，其中k 为实数. (Ⅰ)若对任意的[]33，
-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；45≥k (Ⅱ)若对任意的[]3321，
、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. 141≥k (Ⅲ)若对于任意1x []
3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围. 913k ≤≤
例10、设3x =是函数23()()()x
f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ）；23a b +=-第二题答案是2
30<<a （Ⅱ）设0a >，2
25()()4
x
g x a e =+
,若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.
四、不等式的能成立,恰成立和部分成立问题
例11、若关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． （1） 04<<-a （2）6a ≤-或2a ≥.
例12、已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=
2
2
1，0≠a . 若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；()()+∞-,00,1
练习： 一、选择题
1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是
A. a >-1
B. a=1
C. a ≥1
D. a ≤1
2. 设)(1
x f -是函数1)((2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1)(1
>-x f 成立的x 的取值范围是
)
,.[)
,21.()
21,.()
,21.(222+∞---∞+∞-a D a a
a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立
2
1
23.2
3
21.20.11.<<-
<<-
<<<<-a D a C a B a A )
2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)
21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)21,0()log (log )(.81
0.1.121.1.11)()(lim 0,0)1,0(]0,1()(.7]
1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()
0)(1()
0(3)(.62
.2
.1.1.|3||5|.521.1
3.2
0.0
2."""1"},|||{},01
1
|{.4222
0-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>⎪⎩⎪
⎨⎧∈---∈+=-∞+∞-∞=⎩⎨⎧>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→-D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a x x 的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是都有意义，则对已知函数的取值范围是值，则）上有最大，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是
数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是有解，则实数若不等式可以是
的取值范围的充分条件，则是若集合φ
x
k
x k x f x k x f x x x x f b a b
ax x x f a a a a y a y t a x at t x f f x f a x a x x a m x ax x m D C B A a x x x x a --+<
>===+-+=≠>-==-∈-∈+≤=-∈<-=-+++∞<-∈2)1(12)(14
3012)(()(.15)10(|1|2.14]11[]11[12)(1)1(]11[)(.13]10[1||.120)12(log .11]
2,1.()
1,0.()
2,1.(),2.[log )1)2,1(.102122222）（的不等式，解关于）设（的解析式；
）求函数（，有两实根为常数）且方程、已知函数三、解答题
的取值范围是则的图象有两个公共点，且与函数若直线的取值范围是
恒成立，则实数，，，对所有，若且的奇函数又是增函数，，是定义在设的取值范围是
时恒成立，则实数，在如果不等式的取值范围是恒有解。
则实数的方程，关于若对于任意实数二、填空题
的取值范围是恒成立，则时，不等式（当
练习答案
一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D 二、210.142121.13)2,0.(12]1,0.[11<<≤≤-a t );
,2()2,1(2);
,2()2,1(2);,2(),1(210
))(1)(2(0
2)1(,2)1(2)2()
2(2)(2
18416939
01243)1(.15222
21+∞∈>+∞∈=+∞∈<<>---<-++---+<-≠-=⎩⎨
⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-+== x k x k k x k k x x x x
k x k x x k x k x x x x
x x f b a b a b a x b
ax x
x x 时，解集为③当时，解集为②当时，解集为①当即可化为不等式即为所以得：
分别代入方程，将解。