o
x
(4) 两个常用的分布
1.均匀分布
设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度
1 , ( x , y ) D, f ( x, y) S 0, 其他.
则称( X,Y )在D上服从均匀分布.
例6 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 其中D： y, 0 x 1, y 0 x y yx 求 P{ X Y 1 }
其中 pij 0,
pij 1. i 1 j 1


二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为: X x1 x2 xi Y
y1 y2 yj
p11
p12
p21
p22


pi 1
pi 2


p1 j
p2 j

pij

例1
设（Ｘ,Ｙ）的分布律如下，求a的值． X 1 2 3 Y
-1 1
13
0
a 6
14
14
a
2
解：由分布律的性质可知：
1 a 1 1 1 1 2 a 1 a , a 3 6 4 4 3 2 1 所以 a 3
例2
设（Ｘ,Ｙ）的分布律为
X Y
1
2
3
0
0.1
0.25
0.1
0.3 0.25
1
0
求 (1) P{ X 0}
(2) P{X 1, Y 2}
i 1

j 1, 2, ,
分别称 pi (i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
X
Y
x1 x2 xi
y1
p11
y2
p12


yj
p1 j


p21
p22

p2 j




pi1
pi 2
y
30 F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
4 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 ,
对于任意固定的y, F ( , y ) lim F ( x , y ) 0; 对于任意固定的x , F ( x , ) lim F ( x , y ) 0;
y
x
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
F ( ,) x F ( x , y ) 1. lim

D1
f ( x , y )dxdy
y
0.5 1
D
2dxdy 2 dxdy
D1 D1
yx
2 SD1
1 1 2 4 2
D1
1
x
x y 1
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f ( x, y) 1 2πσ1σ 2 1 ρ
2 1 ( x μ1 )2 2 ρ ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 2 2 σ1σ 2 2(1 ρ2 ) σ1 σ2
e
( x , y )
其中μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ为常数, σ1 0, σ 2 0,1 ρ 1, 则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ的二维正态分 2 2 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ). 布.记为
例4
设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y) 其它. 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); ( 2) 求概率 P{Y X }.
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, y 即有 P{Y X } P{( X ,Y ) G }
0
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 X ,Y )所有可能取的 ( 值为 ( x i , y j ), i , j 1,2,, 记 P { X x i , Y y j } pij , 随机变量X和Y的联合分布律. i , j 1,2,, 称此为二维离散型随机 变量( X ,Y ) 的分布律, 或
解
(1) F ( x, y)
y


x
f (u, v) d u d v
y x 2e(2u v) d u d v, x 0, y 0, 0 0 0, 其他.
(1 e2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得F ( x , y ) 0, 其他.
为随机变量 ( X , Y ) 关于X的边缘分布函数.
记为 FX ( x) F ( x, ). 同理令 x ,
称FY ( y) F (, y) P{X , Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数.
离散型随机变量的边缘分布
的概率是
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
G
例4
设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y) 其它. 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); ( 2) 求概率 P{Y X }.
(2) 性质
10 f ( x, y ) 0.
2
0





f ( x, y) d x d y F (, ) 1.
2 F ( x, y) 3 0 若f ( x , y )在( x , y )连续, 则有 f ( x , y ). xy 4 0 设G是xoy平面上的一个区域点( X ,Y )落在G内 ,
第三章
多维随机变量及其分布
一、重点与难点 二、主要内容 三、往年考题
一、重点与难点
1.重点
二维随机变量的分布( 联合 边缘 ) 有关二维随机变量概率的计算 随机变量的独立性
2.难点
联合概率分布 随机变量函数的分布
二、主要内容
多维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 , 设 X 1 , X 2 , ,X n是定义在 上的n个随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X 1 , X 2 , ,X n ) , 称为n维 随机向量或n维随机变量。 特别地，当n 2时，即( X 1 , X 2 )，称为二维随 机向量或二维随机变量。
(1) 定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y)
f (u, v ) d u d v ,
y
x
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 , 函数 f ( x , y ) 量 称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随机 变量 X 和 Y 的联合概率密度 .
解
(1) 因为
2 4
f ( x, y ) d x d y 1,

所以
0 2 k (6 x y ) d y d x 1 ，
1 k ; 8
( 2) P{ X 1,Y 3} 0 2
1
3
1 3 (6 x y ) d y d x ; 8 8
二维随机变量的分布函数
(1) 定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量 对于任意实数 x , , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P{ X x ,Y y } 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
(3) P{X Y 2}
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律. 1 2 2
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
012 42 12 142 pi P{ X xi } 4 7
p j P{Y y j } 4 7 3 7
3 7
连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率密
度为 f ( x , y ), 由于 FX ( x ) F ( x , ) 记 f X ( x)
f ( x , y ) d x d y
G
YX
G
O

0
y

2e
( 2 x y )
d xd y 1. 3
x
例5 设二维随机变量( X ,Y ) 具有概率密度
k (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4, f ( x, y) 其他. 0, (1) 确定常数 k; ( 2) 求 P{ X 1,Y 3}; ( 3) 求 P{ X 1.5}; (4) P{ X Y 4}.