1 6 15 20 15 6 1
5
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
n
n
n
n
f(r) 20 14
6
O 36
令：f
(r )
C
r n
定义域 r {0，1，，n}
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
r
6
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( C ). A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项
变式练习：
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 1 (310 1)
2
9
例2
已知
x 4
最大，求第五项。
1 x3
n
例题选讲
展开式中只有第10项系数
数之和
4
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值
先增后减
➢ Cn
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；
2
n
n1
C ➢当n是奇数时，中间的两项 2 n n1 C 和 2 相等，且同时取得
最大值。n
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
C10 C11 C20 C21 C22 C30 C31 C32 C33 C40 C41 C42 C43 C44 C50 C51 C52 C53 C54 C55 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
rn1
C
rn1
C
r n
3
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了， 在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角: 表中除“1”以外的
每一个数都等于它肩上的两个
嘉善中学
liuhuli
X
1
复习回顾:
二项式定理及展开式:Байду номын сангаас
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n N*)
二项式系数
Cnr (r 0,1, , n)
通项
Tr1 Cnr anrbr
2
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
解：（1） 中间项有两项： T8 C175a8b7 6435a8b7 T9 C185a7b8 6435a7b8
（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：
C125 , C165 , C1151 , C1152 C1151 C145 ,C1152 C135
又C125 C135 C145 C165
赋值法
121
1 33 1
也就是说, (a+b)n的展开式中
1 4641
的各个二项式系数的和为2n
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
8
例题选讲 例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
n
解：依题意, n 为偶数，且 1 10, n 18,
T5 T41 C148
2
x
184 4
1 x3
4
3060 x4 .
若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
10
例3 已知二项式 ( a + b )15
例题选讲
（1）求二项展开式中的中间项；
（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。
C125 C1152 C1151 C165
11
小结:
对称性 （1） 二项式系数的三个性质 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想 各二项式系数的和
a 单调性； b 图象； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
作业: 书P111习题10.4 8,9,10
12
13
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( A ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
7
性质3：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n 1 1