2 n 4 n 6 n n
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
1 性质 ： (a + b)n的二项展开式中，与首 的二项展开式中， 末两端“等距离” 末两端“等距离” 的两项的二项式系数相 。 等
2 性质 ：
(a + b) 的二项展开式中，所有 的二项展开式中， 二项式系数的和等于 2
n
n
0 分析：令 = b = 1, 则 n = Cn + C1 +L+ Cn 2 分析： a n n 3 性质 ： (a + b)n的二项展开式中，奇数 的二项展开式中， 项的二项式系数的和等 于 偶数项的二项式系数的 和 0 2 3 0 令a = 1, b = 1, 则 = Cn C1 + Cn Cn +L+ (1)n Cn n n
m n
∴ 原等式 C + C + C + L + C
1 n 3 n 5 n
n 1 n
=2
n 1
由二项式系数的性质，这是成立的。
组合恒等式的证明
1. 赋值法
1 2 n n (1) 4n 4n 1 Cn + 4n 2 Cn L + 4 (1) n 1 Cn 1 + (1)n Cn = 3n
证明： n = (4 1) n 3
5 ∴T6 = C7 (2 x)5 = 672 x 5
(2) 系数最大项必在中间或偏右，只需比较 T5 和 T7 。
C74 (2) 4 5 Q 6 = >1, 6 C7 (2) 4
∴T5 = C (2 x) = 560 x
4 7 4
4
1 3 1 3. + 2 2 i 的展开式中，按 2 降幂排列后，偶数项之和 等于多少？
∴C + C +L+ C +L= C + C +L+ C
0 n 2 n 2r n 1 n 3 n
2r +1 n
+L = 2
n1
4 性质 ：
4. ( x + y ) n 展开式共有 n + 1 项。二项式系数：小 → 大 ← 小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 + 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2 n +1 当 n 为奇数时，中间两项系数最大，它们是第 项和 2 n 1 n +1 n +1 第 + 1 项，Cn 2 = Cn 2 。 2 n(n 1)L(n k + 1) k k 1 n k + 1 QCn = = Cn (k 1)!k k n k +1 n +1 ∴当 > 1,即k < 时，二项式系数增大 k 2 n k +1 n +1 ∴当 < 1,即k > 时，二项式系数减小 k 2
1 2 n n = 4n + Cn 4n 1 (1) + Cn 4n 2 (1) 2 + L + Cn 1 4 (1) n 1 + Cn (1) n
= 4 4 C +4
n 1 n
n 1
n2
C L + 4 (1) C
2 n
n 1
n 1 n
+ (1) C
n
n n
nπ (2) 1 C + C C + L = ( 2) cos 4 nπ 1 3 5 7 n Cn Cn + Cn Cn + L = ( 2) sin 4
3 ∴T4 = C10 23 x = 15 x 系数绝对值最大。 5 2 5 2
当 k 为偶数时，系数才可能最大：
C 2 , C 2 , C 2 , C 2 , C 2 , C 2
45 105 105 45 1 即 1, , , , , 。 4 8 32 256 1024
0 10
0
2 10
2
4 10
1 n 2 n 注意到 Cn = Cn 1 , Cn = Cn 2 , L
1 2 n 两式相加，得 2 s = nCn + nCn + L + nCn 1 + 2n
= n(C + C + L + C
0 n 1 n
n 1 n
+C ) = n2
n n
n
∴ s = n 2n 1
3. 通项归一法
(1) 求证：C + 2C + 3C + L + nC = n 2
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1 2 + + +L + = 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! (n 1)!1! n !
n 1
n! 证明： C = Q ， m !(n m)!
0 n
证明： (k + 1)C Q
k +1 n +1
= (n + 1)C ,
k n
1 1 k k+ ∴ Cn = Cn +11 k +1 n +1 1 1 2 3 n +1 ∴ 左边 = (Cn +1 + Cn +1 + Cn +1 + L + Cn +1 ) n +1
1 = (2n + 1) = 右边 n +1
Q (1 + x) 2 n = (1 + x) n ( x + 1) n，
∴它们的展开式中各项系数对应相等。
1 0 2 1 n n n+ 考察 x n +1 的系数，得 CnCn + Cn Cn + L + Cn Cn 1 = C2 n 1
5. 组合定义法
求证： C ) + (C ) + (C ) + L + (C ) = C . (
2. 倒序相加法
求证：C + 2C + 3C + L + nC = n 2
1 n 2 n 3 n n n
n 1
1 2 3 n 证明：记 s = Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn ，
1 3 n 则 s = Cn + 2Cn2 + 3Cn + L + (n 1)Cn 1 + n
n n 2 1 s = (n 1)Cn 1 + (n 2)Cn 2 + L + 2Cn + Cn + n
1 1. 求 x 3 的展开式中，系数绝对值最大的项和 2 x 系数最大的项。
k 解：Tk +1 = C10 (1) k 2 k x 5 5 k 6
10
设展开式中系数绝对值最大的项是第 k + 1 项，则
k k C10 2 k ≥ C10+1 2 ( k +1) k k k C10 2 ≥ C101 2 ( k 1)
1 n 2 n 3 n n n
k 证明： kCn = nCn 11 , Q k
k k k ∴ 左边 = ∑ kCn = ∑ nCn 11 = n∑ Cn 11 k =1 k =1 k =1 n 1 n n n
n 1
k = n∑ Cn 1 = n 2n 1 = 右边 k =0
1 1 1 2 1 1 n (2) C + Cn + Cn + L + Cn = (2n +1 1) 2 3 n +1 n +1
4. 比较系数法
求证：C C + C C + L + C C = C
0 n 1 n 1 n 2 n n n
n 1 n
n +1 2n
.
证明： + x) = ∑ C x (1