1上海工程技术大学基础教学学院工程力学部1第三章 轴向拉压变形§3—1 轴向拉压杆的变形 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能 §3—4 简单拉压超静定拉压变形小结2一、概念§3—1 轴向拉压杆的变形1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。

2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。

3三、叠加原理①当各段的轴力为常量时——  L   L1   L 2   L 3    F Ni L i EA i几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作用时产生的变形的总和 — 叠加原理②当轴力为x的函数时 N=N(x)——  L  d L1  d L2  d L3    FN ( x)dx L EA（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。

应力与应变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）L  FN L EAFN  E L AL  E5小结： 变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺 寸的变化。

弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。

塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。

位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。

线应变——微小线段单位长度的变形。

62A aB aCFxF2F 3F例：已知杆件的 E、A、F、a 。

求：△LAC、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。

解：1、画FN 图： 2、计算：FN (1).L FN L EALACLABLBC Fa EA3Fa EA 4Fa EA(2). B  LBC( 3 ). AB   3FaEA L AB L ABFa aEA F EA7§3—2 桁架节点位移三角桁架节点位移的几何求法。

怎样画小变形放大图？分析：1、研究节点 C 的受力，确定各杆的内力 FNi；AL1B 2、求各杆的变形量△Li；L2F1F2C3、变形图严格画法，图中弧线； (1) 以A为圆心，AC1为半径画弧线；CL1 (2) 以B为圆心，BC2为半径画弧线；F L2 FC1交点C’就是C点实际位移。

4、变形图近似画法:C2C ''以切线代替图中弧线。

C'C '' 就是C点近似位移。

8写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系L1BAl2l 1 B1L2F分析： 一、受力分析： 二、画B点的变形图：1）画沿原杆伸长或缩短线； 2）作伸长或缩短线端点垂线；C 图2拉 S1 压 S2vB  BB2B2 BFB’交点就是节点B的位移点。

3) B点水平位移：uB  BB1  L1B'B点垂直位移：vB L1ctg L2 sin B u2 BvB29例：杆1为钢管，A1= 100 mm²，E1 = 200 GPa,L1= 1 m ;杆2为硬铝管，A2= 250 mm²，E2 = 70 GPa,P = 10 kN。

试求：节点A点的垂直位移。

N1解：1)求各杆内力B CN2 l1A PA2 45 Al2l1N1  2P  14.14kN , N 2  P  10kN2)求各杆的伸长lil1N1l1  0.707, E1 A1l2N 2l2 E2 A20.404mm3)画A点的位移图AA5  AA4  A4 A5PA1AA4  l1 / cos 45 A4 A5  l2ctg 4545 A4AA5l1 cos 45l2ctg 450.99990.404 AA5  1.404 mmA3A510例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm²，E = 70kN，P1= 5kN,P1 A A1P2=10kN,L=1m;试求：AP2 60lClB AY C1D点的垂直位移。

  30 (不计横梁变形)解：1)、CD杆内力：研究对象 AB mB  0 : P12l  (P2  NC sin 30)l  0 N C  40 ( kN )2) CD杆的变形：P1P2ACYBBXBL  NClCD  NCl  1.5 (mm) EA EA cos 3)杆A.C点的变形图：CC 2  lACNC B CY CC1 CC 2 cos l sin C2ABA1   AY  AA1  CC 1  2 CYCY C1 AY  2 CY  2l  6 (mm) sin 11§3—3 拉压应变能一、应变能概念1、外力功：W固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。

W  1 P  l 22、应变能：V 固体在外力作用下，P l因变形而储存的能量。

V1 2N l1 2NNl EAN 2l 2EA3、能量守恒：W  V4、应变能密度：单位体积内储存的能量。

v  V /Vl PPioli ld (l )123应变能密度：v  V /V应变能：VN 2l EA,体积：V  A  lv V VN 2l 2EA1 AlN2 2 A21 E  2  1  2E 2dxdyv1  22 2E5、剪切应变能密度：dx'dz2  v  2G  G：剪切弹性模量 dy 单元体： dV  dxdydzdz'13二、求结构节点位移的能量法：例：杆1为钢管，A1= 100 mm²，E1 = 200 GPa,L1= 1 m ;杆2为硬铝管，A2= 250 mm²，E2 = 70 GPa,P = 10 kN。

试求：节点A点的垂直位移。

N1解：1)求各杆内力B 45CN2 l1A PA2  AYA A1N1  2P  14.14kN , N 2  P  10kN2)求外力功及各杆的变形V能iW1 2PAY,V 1N12l1 , 2E1 A1V 2N 22l2 2E2 A23)能量守恒W  V1  V 2A3 P P AY2(V1  V1) P 1.404 mm14例：各杆截面A，材料E相同。

试求：节点 A 点的垂直位移。

B解：1)求各杆内力45 312l CA AY N1N2APPXB BN3N1N1  2P, N2  N3  P2)求外力功及各杆的变形V能iW1 2P3)A能Y, V量1 守 2恒NE112lA1W1 ,V 2  V 3  V1  V 2 N22l2 2E2 A2 V 31 2PAYN12l1 2E1 A1 2 N22l2 2E2 A21 2P AY(2P)2 2EA2l (P)2 l 2 2EA AY2Pl( 2 EA 1)15例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm²，E = 70GP，P1= 5kN,P2=10kN,L=1m;试求：A 点的垂直位移。

  30 (不计横梁变形)P1Al AY A1P2 60ClBC1D解：1)、CD杆内力：研究对象 AB mB  0 : P12l  (P2  NC sin 30)l  0 N C  40 ( kN )2) 求外力功与杆的变形能：P1P2ACW  W1  WV2 , ,YBBXBW11 2P1Ay,W21 2P2  Cy,VN 2lCD 2 EA,AC AY A1 CY C1NC B Ay  2 Cy W3) 能量守恒：W  Ay  V2( P1P2 2), AY22N2 CDlCD(2P1  P2 ) 2EA6(mm)16§3 - 4 拉压超静定一、概念 1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。

2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。

N1 N2AX  0, N1 N3 N2PY  0.APBD13C 23、多余约束：在超静定系统中多余维A持结构几何不变性所需要的杆或支座。

P4、多余约束反力：多余约束对应的反力。

175、超静定的次数（按超静定次数划分)：BDC超静定次数 = 多余约束个数132= 未知力个数-有效静力方程个数。

 A二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） P步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。

2、根据变形协调条件列出变形几何方程。

3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。

L  FN L EA4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。

三、注意的问题拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。

184例：l1  l2 , E1 A1  E2 A2 , E3 A3 ，求：各杆的内力。

解：、平衡方程:BDC X  0  FN1 sin   FN 2 sin   0132 Y  0  FN1 cos  FN 2 cos  FN 3  F  0Al3l2 A2yl1A1 A3 PFN1FN3 FN2、几何方程——变形协调方程：  l1   l2   L3 cos 、物理方程－变形与受力关系l1FN1l1 E1 A1,l3FN 3l3 E3 A3、联立求解:F N 1 L1  F N 3 L 3 cos E 1 A1E 3 A3xAPFN1FN 2E1A1F cos2  2E1 A1 cos3   E3 A3; FN 3E3 A3F 2E1A1 cos3  E3 A319例 木制短柱的四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为 []1 =160 MPa 和 []2 =12 MPa，弹性模量分别为 E1=200 GPa 和 E2 =10 GPa；求许可载荷 F.解：、平衡方程:FF Y  0  4FN1  FN 2  F  01m250FN 2 4FN1、几何方程：  L1   L2、力的补充方程：L  FN L EAF N 1 L1  F N 2 L 2E 1 A1E 2 A2250 F N 1  0 .07 F ; F N 2  0 .72 F20 、求结构的许可载荷：   max FN max AFN max  A F N 1maxA1  1,角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡ FN 1max  3.1  16  10 3  49 .4(k N )  F N 2 max  A 2  2 , F N 2 max  250 2  12  750 ( kN )F1max  A1 1 / 0.07  705.4(kN )F2max  A2 2 / 0.72  1042(kN) ［Fmax］=705.4 kN21例: 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。