Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By

BB'

l2 sin 45

l1
tan
45

(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan

l2
sin

l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1

FN1l1 E1 A1
, l2

FN2l2 E2 A2
, l3

FN3l3 E3 A3
EA
（杆自重的一半）
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W/2
9
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
高强钢制成的起重机圆形截面杆，主要承受轴向压力，已知 直径 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作时要求杆的直径 d≤60.02mm，试问允许的最大轴向压力是多少？
解：（1）变形前后杆的直径改变量为：
23
3.4 拉压杆静不定问题
概念
（1）静定问题(statically determinate problem)——仅用静力 平衡方程就能 求出全部未知力。 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
（2）静不定问题(statically indeterminate problem)——仅用 静力平 衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题）
（缩短）
（2）计算C点的竖直位移
CC l / cos60
A 点的铅垂位移
ΔAy=
AA=2CC=
2Δl cos60

6.0mm
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22
3.4 拉压杆静不定问题
n未 n平
静定问题
n未 n平
静不定问题
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
l1 l,l2 l/ cos ,l3 l tan
FN1 cos2 FN 2 FN 3 sin 2
E1 A1
E2 A2 E3 A3
（4）联立求解
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
26
3.4 拉压杆静不定问题
例题3-4
AD 段为钢杆，A1 2104 mm2 E1 210GPa DB 段为铜杆， A2 1104 mm2 E2 100 GPa F = 1000 kN 试求上、下端反力及各段横截面上的应力。
d(l) FN (x)dx EA(x)
积分：
l
l
FN
(
x) dx
0 EA(x)
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5
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
横向变形与泊松比
拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形
由a变成a1, 横向变形量为 a a1 a
横向正应变为: a
l FNl EA
EA FN ( l )l
F
F kl
可见，拉压杆可类比于弹簧常数为k的弹簧。
k EA l
弹簧常数 刚度系数
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4
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
变轴力、变截面直杆的轴向变形
轴力FN和横截面积A沿轴线变化情况
可在杆轴线坐标为x 处截取微段dx，该微段可看作轴力为 FN(x)的等截面(A(x))直杆，其变形量为：
实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
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24
3.4 拉压杆静不定问题 解法
基本步骤：
（1）静力平衡方程(static equilibrium equation )
Fx 0 : FN1 FN2 cos
Fy 0 : FN2 FN3 F
d d1 d 0.02 mm 杆的横向应变为：
d 3.33104
d
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10
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
（2）计算杆的轴向应变
1.11103
（3）计算轴力
由胡克定律，得杆的轴力
解：（1）杆AB的静力平衡方程
F1 F2 F 0
（2）变形协调方程
lAC lCD lDB 0
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
27
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（3）由胡克定律
l AC

F1a E1 A1
lCD

F2a E1 A1
lDB

F2 2a E2 A2
2
Δl1

FN1 3 EA1
l
Δl2

FN2 l EA2
Δl3

FN3
2 3
EA3
l
代入变形协调方程
3FN2 2FN1 2FN3
A2
3A1 3A3
整理得
2FN2 2FN1 FN3
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32
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(4) 联立求解
lBC

(F1
F2 )l2 EA

F2l1 EA

F1l2 EA

F2 (l1 l2 ) EA
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13
3.2 变形计算的叠加原理
lAC

F1l2 EA

F2 (l1 l2 ) EA
F1单独作用
F2单独作用
几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产
8
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-1
（3）考虑杆的自重和 F 共同作用， x 截面轴力为 ：
FN (x) F g Ax 积分得A截面的位移为：
l（3）
l FN (x)dx
l (F gAx)
dx
0 EA
0 EA

Fl

gl2

(F W )l 2
EA 2E
2(1 3) FN1 3 2 3 F 0.845F 8.45 kN
FN


A

E

πd 2 4
627372
N
所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过627.37kN
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11
3.2 变形计算的叠加原理
杆AC同时承受轴向载荷F1与F2的作用，计算杆的总变形 量。
设AB与BC段的轴力分别为FN1与FN2，均为拉力，则由 截面法得:
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第3章 轴向拉压变形
Axial Deformation
本章主要内容
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形 3.2 变形计算的叠加原理 3.3 桁架的节点位移 3.4 拉压杆静不定问题 *3.5 热应力与预应力
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
MB 0 : F1 2l F2l FN,CDl sin 30 0
FN,CD

2F1 F2 sin 30
4104 N
（压缩）
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21
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
CD 杆的轴向变形为
l FNl EAcos30
0.0015m
支架各杆材料相同，F=10kN，
A1 100 mm2
A2 150 mm2
A3 200 mm2
试求各杆的轴力。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
30
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
解: (1)静力平衡方程
Fx 0 :FN1 cos30 FN2 FN3 cos30
代入变形协调方程
F1 a F2 a F2 2a 0 E1A1 E1A1 E2 A2
整理得 F1 9.4F2
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
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3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（4）联立求解
上端反力： F1 904 kN (拉)
下端反力： F2 96 kN (压)