第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。

两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。

§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。

（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。

例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。

曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。

2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。

3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。

4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。

y δ与dy 的区别：当自变量x 的增量1x x x -=∆充分小时，可用dx 来表示，dx 称为x 的微分。

相应地，函数y 的增量()()()()x o x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆当x ∆充分小时，可用dy 来表示，dy 称为y 的微分，dy 是x 的变化引起的微分，是函数增量 y ∆的线性主要部分()x x A ∆，即可记为()()dx x y dx x A dy '==在泛函中，当宗量()x y 的增量足够小，即有变分y δ时，泛函的增量()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32其中，()[]y ,x y L δ对y δ而言为线性，称为一阶变分I δ。

图3-2 函数的增量 图3-3 泛函的增量6、泛函的极值设()x y y *=时泛函取得极值，那么，泛函在极值函数()x y y *=上的变分等于0，即0=I δ当泛函是多元函数的泛函()[]n x ,,x ,x y I 21，泛函在()n x ,,x ,x y 21*上有极值时，变分0=I δ。

因此，泛函取得极值的必要条件是使变分0=I δ。

3.1.3 算子（微分、积分、矩阵方程）方程的变分原理各种类型电磁场的微分方程都可对应于D 空间中的算子方程f Lu =它可以转化为与之等价的变分问题，即泛函求极值问题。

定理：若L 为正算子，而f Lu =在D 上有解，则此解必然使泛函()f ,u ,Lu u I -=21取极小值。

反之，在D 上使泛函I 取得极小值的函数，必是方程f Lu =的解。

（证明略，参见颜威利《电气工程电磁场数值分析》P24-25.也就是说，当L 为正算子时，求解算子方程f Lu =的问题与求泛函的极小值问题等价，即与泛函的变分问题等价。

3.1.4 算子方程的泛函公式 1、静态场对于静电场和恒定磁场，泛函I 有明确的物理意义，它代表场域中的总位能，即当总位能最小时，场是稳定的（汤姆逊定理），因此，对应于无界空间中的算子方程f Lu =的泛函形式应该为 ()f ,u u ,Lu u I -=21（1） 泊松方程的变分公式泊松方程 f -=∇⋅∇ϕε 为了得到正算子L ，改写上式 f =∇⋅∇-ϕε 对应的算子方程 f L =ϕ 式中，∇⋅-∇=εL ，若材料为均匀，ε为常数。

边界条件： 01ϕϕ=Γq n=∂∂Γ2ϕβ13q n =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γγϕϕβ 相应的泛函为()f f L I ,,21,,21ϕϕϕεϕϕϕϕ-∇⋅∇-=-=有内积的定义（在单元中可以认为ε是常数）()Ω-Ω∇-=⎰⎰ΩΩd f d I ϕϕεϕϕ221根据格林定理()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω∇⋅∇=Ω∇-d nd d ϕεϕϕϕεϕεϕ2 泛函可以写为()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω-Ω∇=d nd f d I ϕεϕϕϕεϕ21212()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω-Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=d n d f d z y x I ϕεϕϕϕϕϕϕϕ2121222 由于算子方程f L =ϕ与变分0=I δ等价，最后一项是在泛函的H 空间的边界г上积分，因此，D 空间（即x u ,空间）边界条件不能直接代入。

应该将泛函的被积函数写成D 空间的积分形式，再代入边界条件，即()Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Γ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Γ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=Γ∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓd q d q d n d n 332 0 0 21 21ϕγϕδϕγϕδϕϕεϕεϕϕϕ因此泛函可以写为()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ⎪⎭⎫⎝⎛-+Ω-Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=3 2 2222121d q d f d z y x I ϕγϕϕϕϕϕεϕ 也可以写成能量泛函()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Ω-Ω=3 2 22121d q d f d E I ϕγϕϕεϕ 由于第二、三类边界条件已包含在泛函中，其极值问题就只需要满足第一类边界条件。

（强调①从偏微分方程要求函数二阶连续偏导，降低为一阶连续偏导，得到弱解，适用范围更广；②为不同媒质分界面上自动满足场的切向分量连续或法向分量连续的证明打下基础；③因为泛函具有能量的意义和量纲，故又称能量泛函，描述静电现象的“最小作用原理”，即汤姆逊定理。

） （2） 恒定磁场方程的变分公式矢量泊松方程 J A =⨯∇⨯∇ν 若材料是线性的 J A μ-=∇2 边界条件 0A A =Γ1()q A -n A =⨯⨯∇Γ3λν （场的切向分量，位函数的法向分量）相应的泛函为()()[]⎰⎰ΩΩΩ⋅-Ω⨯∇⨯∇⋅=-⨯∇⨯∇=-=d d 21,,,L ,J A A A J A A A J A A A A I νν2121根据矢量恒等式 ()b a a b b a ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇有 ()()()()A A A A A A ⨯∇⨯⋅∇-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯∇⋅ννν 泛函可以写为()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ⋅-Ω⨯∇⨯⋅∇-Ω⨯∇⋅⨯∇=d d d I J A A A A A A νν2121 有高斯散度定理⎰⎰ΓΩ⋅=Ω⋅∇d Γd n A A泛函的一般表达式为()()()⎰⎰⎰ΩΓΩΓ⋅⨯∇⨯-Ω⋅-Ω⨯∇⋅⨯∇=d d d I n A A J A A A A νν2121 根据矢量恒等式a cbc b a ⋅⨯=⋅⨯因此 ()A n A n A A ⋅⨯⨯∇=⋅⨯∇⨯νν同上理由，边界条件不能直接代入泛函，将被积函数写成积分形式后再代入边界条件，则有()()()d Γd Γd Γd Γn d Γ3AA ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯⨯∇-=⋅⨯⨯∇-=⋅⨯∇⨯-=A q A A 21A q A A n A A A 21n A A 213300λδλδννν 第三项 泛函可以写为()()⎰⎰⎰ΩΓΩ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Ω⋅-Ω⨯∇⋅⨯∇=d ΓqA A d d A I 3221J A A A 21λν 也可写成能量泛函形式()⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=ΩΓΩd ΓqA λA d Ωd ΩνB I 3222121J A A2、简谐时变场（《现代计算电磁学基础》王长清）简谐时变场分析中，场量可以用复数形式表示。

泛函没有明确的物理意义，不是能量泛函。

由于波动方程的算子都是自伴的，因此存在泛函。

（1） 标量波动方程设()r ϕ为位函数或场分量，算子方程()()()()()()r r r r r r s p k p L 2=+∇⋅∇=ϕϕϕ算子()()r r p k p L 2+∇⋅∇=，如果媒质是无耗的（p 和k 2为实数），且()r ϕ满足第一、第二类齐次边界条件，那么L 是自伴的，等价的变分问题的泛函为()()d vs s dv p k dv p ,s s ,,L I v**vv ⎰⎰⎰+-+∇=--=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ222()()()d v s dv p p k I v*v⎰⎰-∇-=ϕϕϕϕ2222（上述推导利用了格林定理及第二类齐次边界条件。

） （2） 矢量波动方程算子方程 J E E ωννj k -=-⨯∇⨯∇2若媒质是无耗的，在齐次边界条件下，与算子方程等价的变分问题的泛函为()()()d vj -dv k ,j j ,,L I ***⎰⎰⋅-⋅-⨯∇⨯∇⋅=----=vvJ E J E E E E EJ J E E E E ωννωω2利用格林定理和矢量恒等式()[]()ds dv n a b b a b a b a SV⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰φφφ利用齐次边界条件()[]()⎰⎰⋅-⋅⋅-⨯∇⋅⨯∇=V****dv j -dv k I J E J E E E E E E Vωνν2若媒质是有耗的（略）。

如果边界条件是非齐次的，所对应的算子是非自伴的，可采用修正变分原理。

总结上述可以看到，① 只有算子是自伴算子（或是修正后的自伴算子），才有泛函的极值问题，因此，不是所有微分方程都有其对应的泛函极值问题；泊松方程、拉普拉斯方程、波动方程—可用基于变分原理的FEM扩散方程、非简谐波动方程—可用基于伽辽金法的FEM ② 为什么要将微分方程定解问题转化为变分问题微分方程定解问题要求解具有二阶连续导数，而变分方程只要解的一阶导数平方积分即可，既引入变分是为了降低对解的光滑性要求，使得一些原来不具备连续二阶导数的解的微分方程在变分意义上有可能存在条件稍弱的解，既扩大了求解范围。