完备性
我们希望得出结论 S(A) 。如果Q(A) 或者R(A) 是真 的则S(A) 是真的，然而它们其中必有一个是真的， 因为要么P(A)是真的要么 P( A) 是真的。
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 4 归结演绎推理
1、归结原理
不幸的是用假言推理规则进行推理不能得出S(A) 。问题在于 x P( x) R( x) 不能转换成Horn子句 形式，也就不能应用假言推理。这意味着利用假言 推理的证明过程是不完备的：存在由知识库限定的 语句不能被该过程推导得出。
p q 相同，
用相应的析取语句代替蕴含语句。 例：x { y P(x，y) ¬ y[Q(x,y) R(x,y)]} 由第一步可得： x {¬ y P(x，y) ¬ y[¬Q(x,y) R(x,y)]}
缩小否定符号
的辖域：否定符号只允许用到原子
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语句上。反复运用摩尔定律，消去大量的否定符号：
x (y Dog( y) Owns( x, y)) AnimalLove r ( x) Dog( y) Owns( x, y)) AnimalLove r ( x)) AnimalLove r ( x)) AnimalLove r ( x)) AnimalLove r ( x))
x Person( x ) y Heart( y) Has( x, y)
为了说明每人都有心脏，而且不需要相同的心脏， 我们用一个函数来表示每人的心脏：
x Person( x) Heart( F ( x)) Has( x, F ( x))
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3. 2 归结演绎推理
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
r ( x) Animal ( y) Kills( x, y) C: AnimalLove
D: E:

False
Kills( Jack, Tuna) Kills(Tom, Tuna)
Cat(Tuna)
( x) F: Cat( x) Anim al
A:
x Dog( x) Owns( Jack, x) x (y Dog( y) Owns( x, y)) AnimalLove r ( x)
B:
r ( x) y Animal ( y) Kills( x, y) C: x AnimalLove
D:
E:
Kills( Jack, Tuna) Kills(Tom, Tuna)
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3. 4 归结演绎推理 对于上面的知识库可以转换为：
合取标准型
P( w) Q( w) P( x) R( x) Q( y ) S ( y ) R( z ) S ( z )
蕴含标准型
P( w) Q( w) True P( x) R( x) Q( y ) S ( y ) R( z ) S ( z )
x ((y
x ((y ( Dog( y) Owns( x, y)) x ((y Dog( y) Owns( x, y)) x y (Dog( y) Owns( x, y)
B:
Dog( y) Owns( x, y)
AnimalLove r ( x)
Cat(Tuna)
x Cat( x) Animal ( x)
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F:
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
现在我们将这些语句转换成蕴含标准型。我们用简 写P 来表示 ： Ture P A1:Dog(D)
A2:Owns (Jack, D)
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3. 2 归结演绎推理
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
现在的问题就是要证明Kills (Tom, Tuna)是真的。
其中F是以前知识库中没有的函数，叫做Skolem 函 数。通常，当存在量词处于某一个全称量词的辖域中 时，我们用 Skolem 函数来取代存在量词变量，否则 我们就用常量来取代。 Skolem 函数将所有的存在量 词都消去，然后我们把全称量词也消去。剩下的变量 都是全称量词变量。
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
5、 标准型的转换
下面我们将看到任意一个一阶逻辑语句都可被转 化为蕴含标准型 ( 或合取标准型 ) 。我们将一步步给 出转化成标准型的过程，并说明在转化的同时没有 改变语句的意义。
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5.2.1子句集(3)
消除蕴含符号：由于 p q 与
3. 2 归结演绎推理
转换为合取式：例如用(a c) (b c) 代替 (a b) c ，将
(a b) c 转换成 (a b c) ， (a b) c 转换成
(a b c) 。这就是合取标准型
转换为蕴含标准型：对于每个析取，将有否定符号的集 中在一起作为蕴含的一边，其余的作为另一边：
True P ( x ) R ( x )
w / x
True S ( x ) R ( x )
R( z ) S ( z )
x / A, z / A
True S ( A)
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3. 4 归结演绎推理 4、完备的推理程序 采用消解规则的推理链比采用假言推理的推理链功 能要强大，但它仍然不是完备的。例如，如果知识 库为空，我们希望证明 P P 这条语句是永真的 ，但我们无法对一个空知识库使用消解规则，因此 我们无法证明。 一种采用消解原理的完备的推理过程就是反证。其 思想就是为了证明P ，假设P是假的然后由此推出矛 盾。如果能够推出矛盾，则表示知识库涵蕴 P。
No animal lover kills an animal.
Either Jack or Tom killed the cat, who is named Tuna. Did Tom kill the cat?
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3. 2 归结演绎推理
首先我们用一阶逻辑来表达这些：
量词左移：在影响语句意思的情况下把所有的量词 移到语句的最左边，按它们出现的顺序排列。例如： 用 xp Nhomakorabea代替 p
x q 不会改变语句的真
假，因为 p 与 x 无关。
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消除存在量词(Skolemize)：Skolemization 是一种消 除存在量词的过程。考虑“每个人都有心脏”：
(a b c d ) 转换为 (a b c d )
这是蕴含标准型。
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5.2.1子句集(15)
蕴含等价式 双重否定律、 摩根定律、 量词转换律
消去蕴含词和等值词
使否定词仅作用于 原子公式 使量词间不含 同名指导变元
没有蕴含词、等值词 “¬”作用原子谓词
存在指定、 依赖关系
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3. 4 归结演绎推理
2、消解的标准型
在消解规则的第一种形式中，每条语句都是析取 ，整个知识库可看作是这些析取的合取，因此这种 形式也称为合取标准型。 在消解规则的第二种形式中，每个语句都是一个 蕴含语句，它的左边由原子语句的合取组成的，右 边是原子语句的析取。我们成这种形式为蕴含标准 型。
（resolution algorithm）。
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3. 4 归结演绎推理
消解：一种完备的推理过程
前面我们曾经提到消解推理：
,
, 或者等价于
注意到假言推理不能推导出新的蕴涵语句，因 此消解规则的表达能力比假言推理规则强。
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3. 4 归结演绎推理 1、归结原理
完备性 假设我们有如下的知识库：
x P( x) Q( x)
x P( x) R( x)
x Q( x) S ( x) x R( x) S ( x)
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1、归结原理
=> x { y ¬ P(x，y) y [Q(x,y) ¬ R(x,y)]}
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变量标准化：对于类似于 (x P( x)) (x Q( x)) 的语句，改变其中一个的变量名。
x { y ¬ P(x，y) y [Q(x,y) ¬ R(x,y)]} 问题:不同辖域的相同变元对应的约束相同吗? => x { y ¬ P(x，y) z[Q(x,z) ¬ R(x,z)]}
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消解推理规则
我们对上面的简单的消解规则进行扩展：对于任 意长度的两个析取式，如果其中一个析取式中的某 一项( pi)能够与另一个析取式中的某一项( qk)的否定 合一，则可推出两个析取式中的所有项(不包括 pi 和 qk )的析取。
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消去存在量词
消去全称量词 化公式为合取范式
没有量词( 、 ) 合取范式
全称指定
分配律
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3. 2 归结演绎推理 6、证明举例
现在我们将通过一个例子来看看怎样用消解规则来进行证明。 假设我们有：
Jack owns a dog.
Every dog owner is an animal lover.
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3. 4 归结演绎推理