第1讲曲线运动平抛运动
自主学习回顾
☆知识梳理
1．运动特点
曲线运动的速度：曲线运动中速度的方向是在曲线上某点的方向，是时刻的，具有加速度，因此曲线运动一定是运动，但变速运动不一定是曲线运动．
2．物体做曲线运动的条件
(1)从动力学角度看，如果物体所受合外力方向跟物体的方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动．
(2)从运动学角度看，就是加速度方向与方向不在同一条直线上．经常研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运动．
3．运动的合成与分解
已知分运动求合运动称为运动的；已知合运动求分运动称为运动的．两者互为逆运算．在对物体的实际运动进行分析时，可以根据分解，也可以采用正交分解．
4．遵循的法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即、、的合成与分解，由于它们都是矢量，故遵循．
☆要点深化
1．物体做曲线运动的受力特点
物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且指向轨迹的凹侧．
3.合运动与分运动的关系
（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即合运动与分运动同时开始，同时结束.（2）独立性：物体在任何一个方向的运动，都按其本身规律进行，不会因为其他方向的运动是否存在而受影响.（如河水流速变化不影响渡河时间）
（3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
☆针对训练
1．如图4－1－1所示，平面直角坐标系xOy 与水平面平行，在光滑水平面上一做匀速直线运动的质点以速度v 通过坐标原点O ，速度方向与x 轴正方向的夹角为α，与此同时给质点加上沿x 轴正方向的恒力Fx 和沿y 轴正方向的恒力Fy .则此后( ) A ．因为有Fx ，质点一定做曲线运动
B ．如果Fy ＜Fx ，质点相对原来的方向向y 轴一侧做曲线运动
C ．如果Fy ＝Fx tan α，质点做直线运动
D ．如果Fx ＞Fy cot α，质点相对原来的方向向x 轴一侧做曲线运动
☆知识梳理
1．定义：水平方向抛出的物体只在 作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g 的 曲线运动，其运动轨迹是 ． 3．平抛物体运动条件：(1)v 0≠0，沿 ，(2)只受 作用． 4．研究方法
运动的合成与分解．
把平抛运动分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动．
5．运动规律
以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为x 轴正方向，
☆要点深化
1．平抛运动的主要特点有哪些？
(1)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等．由Δv ＝gt ，速度的变化必沿竖直方向，如图4－1－3所示．
(2)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关，由公式2
2
1gt y =
，可得g
y t 2=
t ；落地点距抛出点的水平距离x ＝
v 0t ，由水平速度和下落时间共同决定．
(3)水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．
2．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
证明：如图4－1－4所示，由平抛运动规律得：
tan v gt v v ==
⊥α，0
02
22
1tan v gt t
v gt
x
y =
⨯
=
=
θ，
所以θαtan 2tan =
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图4－1－5所示，设平抛物体的初速度为v 0，从原点O 到A 点的时间为t ，A 点坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x ′，0)，则
t v x 0=，2
2
1gt y =
，gt v =⊥，
又/
tan x
x y v v -=
=
⊥α，
解得2
/
x x =
.
即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点．
※特别提醒
(1)平抛运动是匀变速运动，但其合速度大小2
2
0)(gt v v +=
并不随时间均匀增加．
(2)速度矢量和位移矢量与水平方向的夹角关系为θαtan 2tan =tan ，不能误认为θα2=。
☆针对训练
2．如图4－1－6所示，一同学在玩闯关类的游戏，他站在平台的边缘，想在2 s 内水平跳离平台后落在支撑物P 上，人与P 的水平距离为3 m ，人跳离平台的最大速度为6 m/s ，则支撑物距离人的竖直高度可能为( )
A ．1 m
B ．9 m
C ．17 m
D ．20 m
解题思路探究
题型1 运动的合成与分解
【例1】 一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m 远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度v x 图象和流水的速度v y 图象如图4－1－7甲、乙所示，则( ) A ．快艇的运动轨迹为直线 B ．快艇的运动轨迹为曲线
C ．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D ．快艇最快到达浮标处经过的位移为100 m
变式训练
1－1 现在城市的滑板运动非常流行．在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别从杆的上下通过，如图4－1－8所示．假设人和滑板运动过程中受到的各种阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍落在滑板原来的位置上．要使这个表演成功，运动员除了跳起的高度足够外，在起跳时双脚对滑板作用力的合力方向应该( ) A ．竖直向下
B ．竖直向上
C ．向下适当偏后
D ．向下适当偏前
1－2 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x 方向和y 方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图4－1－9所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是( ) A ．物体做匀变速曲线运动 B ．物体做变加速直线运动
C ．物体运动的初速度大小是5 m/s
D ．物体运动的加速度大小是5 m/s 2
题型2 平抛规律的应用
【例2】 如图4－1－10所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P 以速度v 0抛出一个小球，落在斜面上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角α，若把初速度变为2v 0，则( )
A ．空中的运动时间变为原来的2倍
B ．夹角α将变大
C ．PQ 间距一定大于原来间距的3倍
D ．夹角α与初速度大小无关
4－
1－8
变式训练
2－1 如图4－1－11所示，三个小球从同一高处的O 点分别以水平初速度v 1、v 2、v 3抛出，落在水平面上的位置分别是A 、B 、C ，O ′是O 在水平面上的射影点，且O ′A ∶AB ∶BC ＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确关系是( ) A ．v 1∶v 2∶v 3＝1∶3∶5 B ．三个小球下落的时间相同 C ．三个小球落地的速度相同 D ．三个小球落地的动能相同
题型3 类平抛运动
【例3】 在光滑的水平面内，一质量m ＝1 kg 的质点以速度v 0＝10 m/s 沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿y 轴正方向(竖直方向)的恒力F ＝15 N 作用，直线OA 与x 轴成α＝37°，如图4－1－12所示曲线为质点的轨迹图(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： (1)如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点的坐标；
(2)质点经过P 点的速度大小．
〖思考与讨论〗若例3中xy 坐标平面在光滑水平面内，(1)、(2)两问的答案又如何呢？
变式训练
3－1 如图4－1－13所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a 、b 、c .开始均静止于斜面同一高度处，其中b 小球在两斜面之间．若同时释放a 、b 、c 小球到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如上图所示，到达该水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′．下列关于时间的关系正确的是( ) A ．t 1>t 3>t 2 B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′ C ．t 1′>t 3′>t 2′ D ．t 1<t 1′、t 2<t 2′、t 3<t 3′
图4－1－13。