k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.82
P( K 2 k0 )
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
例 1：研究吸烟与患肺癌的关系. 1.确定研究对象：吸烟与患肺癌的关系. 2.采集数据——列联表： 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
不吸烟不患肺癌 吸烟不患肺癌 a c .即“ ” ab cd 不吸烟总数 吸烟总数
得 ad bc 0 ，所以 | ad bc | 越小，说明吸烟与患肺癌关系越弱，反之越强. （2）构造随机变量 K 2
n(ad bc) 2 （其中 n a b c d ） (a b)(c d )(a c)(b d )
2 2
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
，其中 n=a+b+c+d）
5.某校在规划课程设置方案的调研中， 随机抽取 160 名理科学生， 想调查男生、 女生对 “坐标系与参数方程” 与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等 式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多 25 人，根据调研情况制成如下图所示的列联表： 选择坐标系与参数方程 男生 女生 合计 160 60 选择不等式选讲 合计
高考必备——独立性检验
1.随机变量： K 2
n(ad bc) 2 ， P( K 2 6.635 ) 0.010（小概率事件） (a b)(c d )(a c)(b d )
2.独立性检验：运用统计分析的方法确定分类变量的关系. （1）要判断“两个分类变量有关系” ； （2）假设结论不成立，即“ H 0 ：两个分类变量没有关系” ； （3）确定一个判断规则的临界值 k0 ：当 K 2 k0 时，认为“两个分类变量有关系” ，否则认为“两个分类 变量没有关系” ； （ k0 是根据允许误判概率的上限来确定的） （4）按照上述规则，误判概率为 P( K 2 k0 ) .
2
（3）科学研究表明： P( K 2 6.635 ) 0.010. 即“当 K 6.635时，事件发生的概率为 0.010（小概率 事件——几乎不可能发生） ” （4）根据所采集的数据算得：在 H 0 成立的情况下， K 56.632，远远大于 6.635，所以我们断定 H 0 不
2
2
女 20 30 50
合计 60 50 110
40 20 60 算得，
a＋b
n ad－bc 2 c＋d a＋c
2
b＋d
χ2＝
110
40×30－20×20 60×50×60×50
≈7.8. 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
P(χ2≥x0) x0源自参照附表，得到如下说法，其中正确的是________． ①再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ； ②再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” ； ③有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ；
（Ⅰ）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下，能否认为选题与性 别有关. （Ⅱ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中 共抽取 8 人进行问卷.若从这 8 人中任选 3 人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数 的差为 ，求 的分布列及数学期望 E ． 附： K 2
④有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” ． 4．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民 币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出 200 次成功 交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都作出 好评的交易为 80 次． （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2） 若将频率视作概率， 某人在该购物平台上进行 5 次购物中， 设对商品和服务全好评次数为随机变量 X： ①求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ； ②求 X 的数学期望和方程． P（K ≥k） k （K =
D．a=30，c=30
2．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是________． ①100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌； ②1 个人吸烟，那么这个人有 99%的概率患有肺癌； ③在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人； ④在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有． 3．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 爱好 不爱好 合计 由χ ＝
成立，即“吸烟与患肺癌有关系”.误判概率不超过 P( K 2 6.635 ) 0.010.
【巩固训练】 1．假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表： Y X x1 x2 总计 a c 60 10 30 40 ） a+10 c+30 100 y1 y2 总计
对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为（ A．a=45，c=15 B．a=40，c=20 C．a=35，c=25
（1）由列联表可直观的了解：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异.. 3.独立性检验： （类似于反证法） （1）假设 H 0 ：吸烟与患肺癌没有关系. 把表中数据用字母代替，得 不患肺癌 不吸烟 吸烟 患肺癌 总计
a c
b
d
ab
cd
总计
ac
bd
abcd
若“吸烟与患肺癌没有关系” ，则