回归分析与独立性检验
（一）变量间的相关关系、回归分析的基本思想及初步运用
一、相关关系:自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系. 二、散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 三、回归分析:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 1、回归直线方程
设所求的直线方程为y b x a ∧
=+，其中1
2
1
()()
,()
n
i i i n
i i x x y y b a y b x x x ==--==--∑
∑
，1
1
11,,n
n
i i i i x x y y n
n
===
=
∑
∑
(,)
x y 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.回归方程的截距a 和斜率b 是用最小二乘法计算出来的. 2、相关系数：两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数r 来衡量.
相关系数：()()
n
i i x x y y r --=
∑
0r >，表示两个变量正相关；0r <，表示两个变量负相关；
r
的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在
线性相关关系.通常，r 的绝对值大于0.75时，表明两个变量的线性相关性很强. （二）独立性检验的基本思想及其初步运用
一、用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例：是否吸烟，是否患肺癌等 二、独立性检验的方法：列出两个分类变量的频数表（列联表），直观判断.一般步骤： （1）2*2列联表
（2）提出假设：设p 与q 没有关系 （3）根据列联表中的数据2
K 计算的值
2
2
()
()()()()()
n a d b c K
n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++其中为样本容量
（4）根据计算得到的随机变量2K 的观测值作出判断
如：2
4.232K =因为4.232介于临界值3.841和
5.024之间，2
( 3.841)p K ≥=0.05,所以两个分类变量
没有关系的概率是5%，即两个分类变量有关系的概率为95%.
【例1】【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得
16
1
1
9.9716
i i x x ==
=∑，0.212s =
=
≈，
18.439≈，16
1
()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，
其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． （1）求(,)i x i (1
,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进
行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅
的相关系数()()
n
i i x x y y r --=
∑
0.09≈．
【反馈检测1】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：7
1
9.32i i y ==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑
0.55=
2.646≈.
参考公式：相关系数()()
n
i i t t y y r --=
∑
回归方程y a b t =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
2
1
()()
()
n
i i i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑
∑
，=.
a y
b t -
【例2】全国人大常委会会议于 2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定, “全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查, 得到以下的22
⨯列联表：
（1）根椐以上数据，能否有0
90的把握认为A市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？
（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查, 记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X.
①求X的分布列；②求X的数学期望()
E X和方差()
D X.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n a d b c
K
a b a d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++
【反馈检测3】【2017课标II ，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3
）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01
）
附：
2
2
()
()()()()
n a d b c K a b c d a c b d -=
++++。