例6 已知向量组α1=(2,-1,3,1)T，α2=(4,-2,5,4)T, β=(2,-1,4,-1)T，试判断β能否由 已知向量组α =(2,=(4,=(2,-1,4,-1)T，试判断β α1，α2线性表出，若能，则写出相关的线性组合。 解：以α1 α2 β 为列构成矩阵，并对它施行初等行变换，化为行最简形矩阵
解：
1 2 −3
r2 − 2 r1 r3 + 3r1
1 −3 7 1 −3 7 r + 1 / 5r 0 10 − 17 0 10 − 17 0 0 196 / 10 0 − 2 23
3 2
= 1 × 10 × 196 / 10 =196。
2 求矩阵的逆
一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n×2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-1
am 2 ⋯ amn
= c1……cl a11 ' a22 ' a mn ' 其中第i步使用第一型初等行变换时，取 α=-1，使用第二型初等行变换时，ci=1/k 使用第三型初等行变换时，ci=1 （i=1，2…l）
1
例1 计算
−3 4 7
7 −3 2
7 −3 2
det A的值。 的值。
2 −3
−3 4 7
1 0 −3/ 2 3/ 4 5/ 4 → 0 1 −3/ 2 −7/ 4 −1/ 4 0 0 0 0 0
3 − 3 5 2 4 4 x1 3 7 − 1 x2 x = == c1 2 + c 2 4 + 4 ，其中 c1 , c 2 为任意常数。 x 3 0 0 1 x 4 1 0 0
4 2 r ↔r 1 4 − 1 1 / r 2 1 r +r r −4 r − 1 − 2 − 1 rr −32rr 0 2 − 2 rr + 7 rr 0 − +4 → → 3 5 4 0 −7 7 0 1 0 − 4 4 0 4 − 1
x1 + x 2 − 3 x 3 − x 4 = 1 例4 求解非齐次线性方程组 3 x 1 − x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 4 x + 5x − 9x − 8x = 0 1 2 3 4
1 1 1 −3 −1 1 1 −3 −1 1 解：B = 3 −1 −3 4 4 →0 1 −3/ 2 −7/ 4 −1/ 4 0 0 0 1 5 − 9 −8 0 0 0
B的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm中的向量αi1……αir 构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm的秩。
5 确定向量组的线性相关性
一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为列构成矩阵A，对A施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m， 则α1α2……αm线性无关，若r（A）<m，则α1α2……αm线性相关。 例5 已知a1=[1,1,1]T,a2=[0,2,5]T,a3=[1,3,6]T,讨论a1,a2,a3的线性相关性。 解：计算以向量组成的矩阵的秩
1 r2 ↔r3 → 0 0 1 r3 ×(−1) → 0 0
1 − 4 − 3 −1 A = 1 − 5 − 3 −1 6 4
验证：
2 2 3 1 − 4 − 3 1 0 0 1 − 1 0 1 − 5 − 3 = 0 1 0 − 1 2 1 − 1 6 4 0 0 1
目 录
引 言 1 行列式的计算 2 求矩阵的逆 3 求矩阵的秩 4 求线性方程组的解 5 求向量组的线性关系 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出 7 求向量组的秩与极大无关组 8 判断两向量组是否等价 9 向量空间内向量在基下的坐标 10 一组向量组生成的子空间的基与维数 11 求两个子空间的和与交的基与维数 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵 结 论
3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C１，C２，…，Cn-k为 任意常数)就是AX=0的通解。 (2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵 1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)， 若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2° 2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的 线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应 的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷 多解，转入3° 3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元 为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的 自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0 4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一 个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１， X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k 5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C １，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B的通解。
3 求矩阵的秩
一般格式：将m×n矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵 A
初等行变换 → 行阶梯形矩阵B
其中B中非零行数即为矩阵A的秩，记作r（A）。
3 2 −1 − 3 − 2 1 − 3 2 −1 3 例3 求矩阵 7 0 的秩 5 −1 − 8
3 2 −1 − 3 − 2 1 3 r1 −r2 解： 1 − 3 → 2 − 1 2 −1 3 7 0 7 0 5 −1 − 8 3 −4 −4 1 1 1 r3 −3r2 − 5 → 0 0 − 7 11 9 0 − 21 33 27 − 17 0
( AE ) 初等行变换 →(E ⋮ A −1 )
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
例2 求矩阵
2 2 3 1 −1 0 −1 2 1
的逆。 的逆。
解：
2 2 3 1 0 0 r ↔r 1 −1 0 0 1 0 r12 −2r21 → 1 −1 0 0 1 0 0 4 3 1 −2 0 −1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 2 3 4 4 2 1 1 1 1 3 4 2 2 2
3 1 − 1 0 0 0 0 0
β=3α 故：β=3α1 -α2
7 求向量组的秩与极大无关组
一般格式：设向量组α1α2……αm，以它们为列构成矩阵A
A = (α1α 2 …α m ) 初等行变换→ 行阶梯形矩阵 B
×1 1 0 1 rr ×1 // 2 1 0 1 1 0 1 r − r r −r 5 r −r 1 2 3 → 0 2 2 → 0 2 2 0 5 5 0 0 0 1 5 6
−1 0 0 1 4 0 1 0 0 r1 + r2 1 0 1 0 2 1 r3 − 4r2 1 0 1 1 → 0 1 1 0 1 1 0 0 −1 1 − 6 − 4 3 1 − 2 0 1 0 2 1 r1 − r3 1 0 0 1 − 4 − 3 r2 − r3 1 0 1 1 → 0 1 0 1 − 5 − 3 0 0 1 −1 6 1 −1 6 4 4 1
引 言
矩阵是线性代数的重要研究对象， 矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 下面三种变换定义为矩阵初等行变换： 1.互换两行（记 1.互换两行（记 ri ↔ rj ）； 2.以数 2.以数 k（ k ≠ 0）乘以某一行（记 ri × k ）； 3.把某一行的 3.把某一行的 k 倍加到另一行上（记 ri + k rj ）。 若将上述定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换。初等行变 换和初等列变换统称为初等变换。 利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩， 确定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。 本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。 同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似 之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区 别才能正确使用这些计算格式。 首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序
A
பைடு நூலகம்→ → 行阶梯形矩阵
从左到右 从上到下
从右到左 从下到上
行最简形矩阵
正
1 行列式的计算
文
一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形
a11 a21 ⋮ am1
a12 a22 α ⋮
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋮ ⋮
a11 ' a12 ' ⋯ a1n ' 初等行变换→ c1……cl 0 a22 ' ⋯ a2 n ' ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 amn '
矩阵初等变换的应用 举例
内容摘要
矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变 换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩 阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方 程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性 关系。 本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题 的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于 这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格 式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区 别。