例5 (P92) 一批零件中9件合格品和3件废品，安装机器时，
从这批零件中任取一件。如果取出的废品不再放回去，求 取出合格品以前已取出的废品数的数学期望。
解 设X表示取出合格品以前取出的废品数，则X所有可能取
值为0,1,2,3。于是
9 3 9 9 P X 0 , P X 1 , 12 12 11 44 3 2 9 9 P X 2 , 12 11 10 220 3 2 1 9 1 P X 3 12 11 10 9 220
np
例3
设X ~ P( ), 求EX .
解 X的分布率为 P{ X k }
k e
k!
, k 0,1,2,, 0
X 的数学期望为 EX k
k 0
k e
k!
e

(k 1)! e
k 1

k 1

e
即EX
解 X 的分布率为
k n k
P{ X k} C p (1 p)
X 的数学期望为
n
nk
, k 0,1, 2,
n,
n n! n! k nk EX k p (1 p) p k (1 p)n k k 1 k !( n k )! k 1 ( k 1)!( n k )! n 1 (n 1)! k 1 nk l l n 1l np p (1 p) np Cn1 p (1 p) k 1 ( k 1)!( n k )! l 1 n
第四章、随机变量的数字特征
第一节：数学期望 第二节：方差 第三节：协方差及相关系数
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
于是 P 1000 X 1200
1200 1000
p( x)dx e1 e1.2 0.0667.
即数学期望位于区间(a , b)的中点.
b
例8
解
设X ~ E( ), 求EX .
X 的数学期望为

EX


xp( x)dx

0
x. e- x dx
0
- xde- x - xe- x
0
+ e- x dx
0

-
e
- x

0

请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
例7
设X ~ U (a, b), 求EX .
解 X 的概率密度为 1 a xb p( x) b a 其它 0 X 的数学期望为
x ab EX xp( x)dx dx ba 2 a

1

即指数分布的数学期望为参数分之1.
例9 设某型号电子管的寿命X 服从指数分布, 其平均寿命为1000
小时，计算P 1000 X 1200.
1 解 由题意知 EX 1000 ，则 ，于是 1000
1
x 1 1000 e x 0, p( x) 1000 0 x 0,
数学期望、方差、协方差和相关系数
ห้องสมุดไป่ตู้ 第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
小结
一、离散型随机变量的数学期望
引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
例4 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X 1 , X 2 ,
它们的分布率分别为
X1
pk
0
0
1
2
0.2 0.8
X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1
试比较甲、乙两人的技术那个好
解：我们先来算 X 1 和 X 2 的数学期望，
EX 1 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） EX 2 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
以频率为权重的加权平均
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1

绝对收敛，则称级数
xk pk k 1

的和为随机变量X的数学期望 ,记为 EX ,
即
EX xk pk
k 1

请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收 敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。
则X的期望为
3 9 9 1 3 EX 0 1 2 3 . 4 44 220 220 10
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 p(x), 如果积分



xp( x)dx

绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
EX x p( x)dx
例1、（0-1）分布的数学期望
X服从0-1分布，其概率分布为
X P 0 1-p 1 p
EX 0 (1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则EX= p
例2
设X ~ B(n, p), 求EX .
k k ( p (1 p)) Cn p (1 p)nk n k 0 n
例：
在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维 的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长 度的偏离程度； 考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差 异程度；
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .而所谓的数字特征就是用数字表 示随机变量的分布特点。 在这些数字特征中，最常用的是