20 lg K
1
斜率为： -20=-20dB/dec
1 T1 1 T2
20
1 T1 1 T2
45
20 40 60 80
40

60
90 135 180



270
10 [例]系统开环传函为： GK ( s) (0 25s 1)(0 (0.25 1)(0.25 25s 2 0 0.4 4 s 1)
自动控制理论
周治国
第五章 控制系统的频率特性
• • • • • • §5.1 §5 2 §5.2 §5 3 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 引言 频率特性 典型环节频率特性图 奈奎斯特稳定判据 控制系统的相对稳定性 频率特性与控制系统的性能指标
本次课重点
• 典型环节对数频率特性图 • 最小相位系统 • 开环对数频率特性的绘制
渐近线误差
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 40 lg(T )
L( n ) 20 lg(2 )
6.振荡环节-I
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .4
(4)从低频渐近线开始，沿增大的方向，每遇到一个转 折频率改变 次渐近线斜率 直到绘出转折频率最高的环 折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环 节为止； 惯性环节： -20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec (5)若有必要可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； (6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！
§5.3
典型环节频率特性图
n
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式： 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式
G ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Gn ( s ) G ( j ) Gi ( j ) A( )e j ( )
G ( s) K K 1 K 2 K 5 K 10 K 100
2.积分环节
1 G ( s) s
3.惯性环节
1 G ( s) Ts 1 T 1
补充：
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) s 1 Ts
纯微分环节
G(s) s
二阶微分
G(s) T 2 s2 2 Ts 1

1.0 10 0.7 0.5 0.3 0.1 0.2
振荡环节
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1

0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
[例]开环系统传函为： 试画出该系统的伯德图 试画出该系统的伯德图。
K , T1 T2 0 GK ( s ) s( (1 T1s )( )(1 T2 s )
1 1 2 T1 T2
( )
解： 系统 1, 1 1.该系统是1型系统 2.低频渐近线过点 (1,20lgK) 3.伯德图如下： 3 L()
60 dB / dec
§5.3
典型环节频率特性图
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
绘制开环系统Bode图的步骤:
(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联； (2)确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上； (3)计算 算20lgK，过点 过点(1,20lgK)作斜率等于 作斜率等 -20dB/dec 的直线，得到最低频段的渐近线或其延长线 线 得到最低 线 其 线(最低 最低频段的 斜率由积分环节个数决定)；
7.二阶微分环节
G ( s ) s 2 2 n n
2
n 1 0 .4
传递函数互为倒数的典型环节
1 惯性环节 G(s) Ts 1
一阶微分环节 G(s) Ts 1
对数幅频特性曲线关于0dB线对称； 相频特性曲线关于0o线对称。
积分环节
G (s) 1 s
3 3
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.4开环对数频率特性的绘制
例2：已知开环传递函数 s 10( + 1) 5 G(s ) = 2 s s s s( + 1)( + + 1) 2 2 2 绘制系统的开环对数频率特性曲线
1 6.振荡环节-II
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
6.振荡环节-III
0 .1
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
1
6.振荡环节-Matlab程序
1 G (s) Ts 1
4.纯微分环节
G ( s) s
5.一阶微分环节
G ( s ) s 1 1
补充：
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1
G ( s ) s 1
6.振荡环节-I

0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
L( )(dB B)

1 10T
( )(°)
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 时 T 1 时 T 1 时 T
L( ) 0
低频渐近线为0dB的水平线
L( ) 20 lg (T 2 2 ) 2 40 lg T
高频渐近线斜率为 40dB/Dec 高频渐近线斜率为-
1/T --转折频率
相频特性： 0时
( ) 0
2 1 时 ( ) arc tan( ) 90 T 0 时 ( ) 180
试绘制系统的开环对数频率特性。 解： 1.该系统是0型系统
1 1 4 T1
0, K 10, T1 0.25, T2 0.5
1 2 2 T2
20 lg l K 20dB
2 低频渐近线过点(1,20lg10) 2. (1 20lg10) 3.开环对数幅频特性如下： L() 20 1 2 -40 40 4
20 dB / dec
60 dB / dec 80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
3 3
20 dB / dec
60 dB / dec
80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
斜率为 -20 斜率为： 20=0dB/dec
-60 100

40 60
2
4
红线为渐近线 兰线为实际曲线 红线为渐近线，兰线为实际曲线。
2000 s 4000 [例]系统开环传函为： GK ( s ) 2 s ( s 1)( s 2 10s 400)
试绘制系统的开环对数幅率特性。 解：
i 1
n A( ) Ai ( ) i 1 n ( ) ( ) i i 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg Ai ( )
i 1
n
结论： 对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
1 1 1 T1
2
1 2 T2
20 lg K 20dB
1 3 20 T3
2.低频渐近线过点(1,20) 斜率为： -20=-40dB/dec
3.开环对数幅频特性：
转折频率
环节 惯性 一阶微分 微分 振荡
1 1
L( )
60
40
40dB / dec
2 2
sys6 tf(num, den); den [1,1.4,1]; sys7 tf(num, den); den [1,1.6,1]; [1 1 6 1]; sys8 tf(num, den); den [1,1.8,1]; sys9 tf(num, den); den [1,2,1]; sys10 sys 0 tf( tf(num, u , de den); ); bode(sys1, sys2, sys3, sys4, sys5, sys6 sys7, sys6, sys7 sys8, sys8 sys9, sys9 sys10); grid on;
20 lg G( j w)
§5.3
典型环节频率特性图
对数频率特性图
§5.3
典型环节频率特性图
1 比例（放大）环节 1. 2.积分环节 3.惯性环节 4.纯微分环节 5 一阶微分环节 5. 阶微分环节 6.振荡环节 7.二阶微分环节 8.延迟环节
5 3 2对数频率特性图 5.3.2
1.比例（放大）环节
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.3最小相位系统
如果一个环节传递函数的极点和零点的实部都小于或等于零， 则称这个环节为最小相位环节。 数学上可以证明，对于最小相位系统，对数幅频和相频特性不 ， 是相互独立的，两者之间存在着严格的关系。两者包含的信息 内容是相同的。 从建立数学模型和分析、设计系统的角度看，只要详细地画出 两者中的 个就足够了 两者中的一个就足够了。
num [1]; den [1,0.2,1]; sys1 tf(num, den); den [1,0.4,1]; [1 0 4 1]; sys2 tf(num, den); d [1,0.6,1]; den [1 0 6 1] sys3 tf(num, den); den [1,0.8,1]; sys4 tf(num, den); den [1,1,1]; sys5 y tf(num, f( , den); ); den [1,1.2,1];