者为短矢量
• ↓2为下采样， 故A1与D1的长度为X的一半；↑2为上采样 • 计算
• A1(k) = X(2k-1)*H0(1) + X(2k)*H0(2) + … + X(2*k+L-2)*H0(L) • D1(k) = X(2k-1)*H1(1) + X(2k)*H1(2) + … + X(2*k+L-2)*H1(L)
第十章 二维小波变换及其应用 Chapter 10
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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1D-DWT原理(1)
正变换(分解)
逆变换(重构)
• X为原始信号, A1与D1为低、高频信号, Y为重构信号; 四者为矢量 • H0与H1为分解的低通与高通滤波器，G0与G1为重构滤波器；四
• 逐列变换后，得列变换子图，亦即DWT子图
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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1D-DWT效果(1)
原始信号为Barbara图像的第一行
• 经过一级1D-DWT变换(正变换)，原始信号被分解为两个子信号： 低频A1，以及高频D1. 两个子信号的长度为原始信号的1/2
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1D-DWT原理(2)
• 低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓
• 滤波器H0的元素和 = sqrt(2), 即为常数
• 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)
• 滤波器H1的元素和 = 0
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1D-DWT原理(3)
获取滤波器
[H0,H1,G0,G1] = wfilters('db2');
2D DWT
– 分解：dwt2 – 重构：idwt2
2D SWT
– 分解： swt2 – 重构： iswt2
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通过卷积迭代，由滤波器可生成小波函数 滤波器的应用性能决定于相应小波函数的性质
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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2D-SWT—背景
DWT缺乏平移不变性，导致重构图像包含 环效应
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2D-DWT效果(1)
正 变
A1
换
V1
H1
逆 变
换
D1
原始图像
一级DWT子图
“黑匣子”图像
重构图像
• 经过一级DWT变换(正变换)，原始图像被分解为四个子图：低频 A1，以及三个高频H1,V1,D1. 四子图的大小为原始图像的1/4
• 由DWT子图可还原出原始图像, 此过程称为逆变换 • 前述图像去噪, 黑匣子为正变换, 后续处理包括逆变换和其它操作
常用滤波器
– H0 = [0.7071 0.7071];
% db1
H1 = [-0.7071 0.7071];
– H0 =[-0.1294 0.2241 0.8365 0.4830]; % db2
H1 =[-0.4830 0.8365 -0.2241 -0.1294];
……
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1D-DWT原理(4)
低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)
• 由1D-DWT子信号可还原出原始信号, 此过程称为逆变换 • 多级1D-DWT可通过反复处理低频Ai得到
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1D-DWT效果(2)
• 低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓 • 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)
SWT具备平移不变性，可抑制环效应
– SWT: Stationary discrete Wavelet Transform
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2D-SWT—效果(1)
正
逆
变
变
换
换
A1 H1 V1 D1
原始图像
一级SWT子图
重构图像
• 经过一级SWT变换(正变换)，原始图像被分解为四个子图：低频 A1，以及三个高频H1,V1,D1. 四子图的大小与原始图像相同
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2D-DWT背景(2)
小波变换全称为离散小波变换 小波变换能集中信号能量、去信号相关性 针对图像的小波变换为二维小波变换 二维小波变换对应的英文名为2D-DWT，
2D Discrete Wavelet Transform
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
• 由SWT子图可还原出原始图像, 此过程称为逆变换
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2D-SWT效果(2)
A1 H1 V1 D1 一级SWT子图
正变换
A1 H1 V1 D1
二级SWT子图
A2 H2 V2 D2
• 二级SWT通过分解一级SWT的低频子图A1实现 • 更高级SWT的分解类似完成
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后记—Matlab自带的小波变换函数
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2D-DWT效果(2)
A1
H1
正 A2 H2
变
正 变
换 V2 D2
换
V1 D1
ห้องสมุดไป่ตู้
一级DWT子图
二级DWT子图
三级DWT子图
• 二级DWT通过分解一级DWT的低频子图A1实现 • 三级DWT通过分解二级DWT的低频子图A2实现 • 更高级DWT的分解类似完成
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2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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2D-DWT背景(1)
含噪图像
后
黑 匣 子
小
?去噪
续 处 理
波
变
换
“黑匣子”图像
去噪图像
• 含噪图像噪声明显, 去噪图像中噪声被显著抑制 • 去噪过程, “黑匣子”处理含噪图像, 获得“黑匣子”图像 • “黑匣子”是去噪的核心部分, “黑匣子”图像经后续处理得去噪图
像
• 此“黑匣子”即小波变换
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2D-DWT原理
逐
逐
行
列
变
变
换
换
原始图像
行变换子图
列变换子图
• 先处理原始图像的每一行
DWT子图
• 每一行为1D信号(矢量)，变换后得到两个部分，长度均为1D信号的1/2
• 逐行变换后，得行变换子图
• 后处理行变换子图的每一列
此处对1D信号的 变换为1D-DWT
• 每一列为1D信号(矢量)，变换后得到两个部分，长度均为1D信号的1/2