小波变换及应用一． 为什么研究小波变换傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式ˆ()()i t f f t e dt ωω∞--∞=⋅⎰ （1）逆变换公式⎰∞∞-⋅=dt e ft f t i ωωπ)(ˆ21)( （2） 分析：1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。

2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频谱)(ˆωf的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(ˆωf在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。

)(t f 与)(ˆωf彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。

特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。

要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。

3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。

4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数)(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。

STFT 定义如下：(,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞--∞=-⎰（3）其中，窗口函数()g t 一般取为光滑的低通函数，保证)(τ-t g 只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。

这样，短时傅立叶变换就在τ点附近局部地测量了频率分量ω的幅度值，得到信号在τ=t 时刻附近的频率信息。

D ．Gabor 采用Gauss 函数作为窗口函数，其相应的傅立叶变换仍旧是Gauss 函数，从而保证短时傅立叶变换在时域与频域内均有局域化功能。

短时傅立叶变换存在固有的局限：即其时间——频率窗口是固定不变的，一旦窗函数()g t 选定，其时频分辨率也就确定了。

也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。

我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩得很窄，但这样势必会降低频率分辨率。

Heisenberg 测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频率的最高分辨率受下式的制约：14t ωπ∆⋅∆≥（4） 上式中t ∆和ω∆分别表示时间域和频率域的窗口宽度。

这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。

上述的分析表明，由于使用了固定的窗口，而实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性，对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。

换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间——频率窗，能够在高“中心频率”时自动变窄，而在低中心频率时自动变宽。

而小波便是为此而设计的。

小波变换定义为*,(,)()()a b Wf a b f t t dt ψ=⎰ （5）变换的核函数为,()()a b t bt a ψ-=,0a >b R ∈； （6）其中，ψ()t 被称为一个基本小波或母小波，它一般是时域上以0＝t 为中心的带通函数，在时域和频域都必须是局部化（紧支撑）的，且其平均值为零，即()0t dt ψ=⎰ （7）二.如何进行小波变换例如：[x0,x1,x2,x3]=[90,70,100,70] 取 (x0+x1)/2,(x0-x1)/2 来代表 x0,x1 这样 [90,70] --〉 [80,10] ， 同理，[100,70] --〉 [85,15]。

其中80 和85 是局部的平均值，反映变化相对缓慢的值， 即低频部分的值 而10、15是小范围波动的值， 局部变换较快，即高频部分的值。

小波变换描述为：第一次变换：[90,70,100,70] --> [80,85,10,15] 即低频部分[80,85] (记为V 1）， 高频部分[10,15]（记为W 1)第二次变换：同理而[80,85] --> [82.5, -2.5]， 82.5为低频部分(记为V 2) ，-2.5为高频部分（记为W 2）。

则[90,70,100,70] --〉[82.5, -2.5, 10, 15]这是二代小波（harr 小波）的二级变换，如果维数高，同样可以进行更高级的变换。

图1二带小波与4带小波的空间分解写成矩阵表达形式： [90,70]---> [80,10] 写成V 4 W 4W 3W 2 W 1V 2 W 21 W 22 W 23W 11W 12W 13二带小波 4带小波[]112211229070⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ [90,70,100,70] --> [80,85,10,15]写成[][]11002211002280851015907010070110022110022⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦[80,85,10,15] --〉[82.5, -2.5, 10, 15] 写成[][]110022110082.5 2.51015808510152200100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对二维图像操作结果分析小波变换的精髓就是：对于变化平缓的信息（对应低频信息），在大范围（尺度）上观察，对于变化很快的信息（对应高频信息），在小范围（尺度）上观察。

称为多尺度或多分辨率思想。

若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。

在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到目标的细节部分。

这种由粗及精对事物的分析就称为多分辨率分析。

介绍多分辨率分析及尺度空间和小波空间的概念。

任何一个事物S都对应着多个描述空间，每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出S中不同事物，则称特征基在S中是完备的。

若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。

当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。

从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。

描述空间也称描述域。

不同特征基有不同描述和运算规则。

将事物在A描述空间上的特征转为在B空间（也称变换域）的特征，可更符合于我们的观察或认知。

例如：传统的傅里叶变换即是引入无穷余玄基和正玄基来无穷逼近L 2空间中（平方可积空间）的函数。

因余玄基和正玄基的许多优秀性质而被广泛应用。

例如：在图像压缩中，我们就是利用了图像数据的特性，将其转化为符合其特性描述的空间上，从而更好的描述了图像而达到压缩的目的。

因此解决不同问题可选择不同的变换方式。

自然图像的数据特性就是其中相邻的象素点的颜色（或象素值）在一个大的概率上相关，否则我们将要看到一片颜色（或灰度）乱变的点。

图像频域的描述空间概念：对于大范围内平缓变化的信息，我们称其为低频信息，对于小范围内变化很快的信息，我们称其为高频信息，并将这些信息对应频域上的数值。

低频和高频信息可任意设置。

离散傅里叶变换以变化平缓的波来描述低频信息，以变化快速的波来描述高频信息。

因自然图像相关性，故低频信息描述了整体的信息，而高频信息描述了局部细节。

傅里叶变换存在一些不足。

例如，要想取得较好的低频信息，我们需要相对较长的变换窗口，而要想取得较好的高频信息，我们又需要较短的窗口, 这样就引起一对矛盾。

为了解决傅里叶变换的不足，就需要用长窗口来提取低频信息，用短窗口来提取高频信息。

小波变换应运而生。

以图像来说明建立空间特征基和小波变换的关系 设有一幅图像由64个点组成，从不同分辨率考察。

最近时， 把1个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V0 走远一些，把4个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V1 再走远一些，把16个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V2 再走进一些，把64个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V3 可知凡是在V j 空间内可以描述的图像，1-j V 空间内皆可描述,并且描述的更细致，故V j 包含于1-j V 空间 。

记j j j W V V ⊕=-1,即V j 和W j 构成1-j V 空间。

（若j j W V ⊥ ，则W j 为V j 的正交补空间，实际应用中不要求一定正交）记j P 为图像在V j 空间的描述则11j j j D P P ++=- 就表示了图像在这两个描述空间的细节差异，因为11j j j V V W ++=⊕，故1j D +为图像在1j W +空间上的描述。

即1j W +空间表述了细节差异。

如果1+⊥j j W W ,即为不同分辨率下的细节差异不相关，从而消除冗余。

在j W 空间中能找到一组正交标准基，其基本函数必是高（带）通的，就称其为小波函数。

继续分解3321j j j j j V V W W W ++++=⊕⊕⊕即最清晰分辨率下的图像可以由不同分辨率下的细节差异和最高尺度（最低分辨率）下的图像合成而得。

如何构造Wi ？11j j j V V W ++=⊕中 V j 就是尺度空间，即我们观察事物所采用的尺度，也就是分辨率。

尺度越大，分辨率越小，尺度越小，分辨率越大。

j W 就是细节空间，即不同尺度空间观察事物的差异。

一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息。

即： 一幅图像=系数 * 尺度空间基 + 系数 * 细节空间基正如富里叶变换是将一个函数用无穷项正玄或余玄基逼近，小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。

富里叶变换是以 j t e ω为核进行积分，小波变换以小波基为核进行积分.函数()ψt 为母小波，那么通过尺度变换和平移变换，可得到离散二带小波变换的基函数22,()2()2ψψ--=jj j n t nt 由多分辨率分析概念，设()t φ,)(t ψ分别为尺度空间0V 和小波空间0W 的标准正交基。

由于10-⊂V V ,10-⊂V W ，所以()t φ,)(t ψ也必然属于，也就是说()t φ,)(t ψ可用1-V 空间的正交基)(,1t n -φ线性展开：∑∑-==-nnn n t n h t n h t )2()(2)()()(0,10φφφ （8）∑∑-==-nnn n t n h t n h t )2()(2)()()(1,11φφψ （9）式（8），（9）描述的是相邻二尺度空间基函数之间的关系，称此二式为二尺度方程。