思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
例1.解不等式 | 3 2x | 7. 解:原不等式 2x 3 7
2x 3 7或2x 3 7
x 2或x 5
原不等式的解集为{x | x 2或x 5}.
变式练习: 解不等式 | 3x 2 | 1．
答案: (, 0) (1, )
例2.解不等式 | x2 5x | 6．
解:原不等式
例2.已知函数
.
（I）画出
（II）求不等式
的图像； 的解集。
x 4 ，x ≤ 1
f
x
3x
2
，
1
x
3 2
4
x
，x
≥
3 2
，1 3
1，3
5，
课堂练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
(1). a b c a b c (2). a c a b b c
定理2
1、求证：（1）a b a b 2 a
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1） x a x b a b
（2） x a x b a b
1.求 x 3 的x最大9 值 2.求 x 3 的x最 9小值
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,-B两点之间的距
离
a A
0
a
x
ab
ab
-B
A
B
-b
a
O
b
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与之a 间 的b 大
例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解2:原不等式 x2 3x 4 (x 1)或x2 3x 4 x 1 x2 2x 3 0或 x2 4x 5 0 (x 1)(x 3) 0,或(x 1)(x 5) 0
1 x 3,或x 1,或x 5, 原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.
对原不等式两边平方得x2<1, 即(x+1)(x-1)<0
∴－1<x<1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}.
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函
数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部
6
x2
5x
6
x 2
x2
5x 5x
6 6
x2 x2
5x 5x
6 6
0 0
x 2或x 1 x 6
3
1 x 2或3 x 6,
原不等式的解集为(1, 2) (3,6).
变式练习: 解不等式1 | 3x 4 | 6．
答案: [10 , 5) (1, 2]
33
3
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0
2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1, ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0 综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解:原不等式化为| x 1| | x 2 | 5 0,
构造函数 y | x 1| | x 2 |, 化简得
(1 x) (x 2)，x 2 y (1 x) (x 2)， 2 x 1
(x 1) (x 2)，x 1
2x 6, x 2 即 y 2， 2 x 1
例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解
1:原不等式
x x
2 2
3x 3x
4 4
0 x
或 1
x2 3x 4 0
(
x2
3x
4)
x
1
x x
4或x 5或x
1或 1
1 1
x x
4 3
x 1,或x 5，或 1 x 3,
原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
原不等式
x (1
2 x)
(x
2)
5
x x
2 3
x
3.
(2)当 2 x 1时,
原不等式
2 x 1 (1 x) (x
2)
5
2 3 5
x
1
x
.
(3)当x 1时,
原不等式
x 1 (x 1)
(x
2)
5
x x
1 2
x
2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
这种方法体现了函数与方程的思想．
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|有最 小
值 3 此时，x的取值范围是 x 2，1
思考二：若变为|x-1|+|x+2|≥k恒成立，则k的
取值范围是
k 3
Hale Waihona Puke 思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|<k成立， 则k的取值范围是 k 3
ab a b
当向量 a, 共b 线时，
同向： a b a b 反向： a b a b
y
ab b
a
O
x
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
绝对值不等式的解法（二）
2020年8月6日星期四
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义．
解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，
-3,2对应的点分别为A1,B1，
A1 A
B B1
这种方法体现了 数形结合的思想
-3 -2 -1 0 1 2
∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5,
分对应的x的取值范围.
y
∴不等式|x|<1的解集为
1 y=1
{x|-1<x<1}
－1 o 1 x
一般结论: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集: