1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4. ☆教学重点： ☆教学难点： ☆教学过程：一、引入：理解绝对值三角不等式打会用绝对值不等式解决一些简单冋题。
定理1的证明及几何意义。
换兀思想的渗透。
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之 外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） a+b 纠 a+b（ 2） a_b 兰 a + b （3）|a b =a b（4）罰書甘0） 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a ・b = ab 和鸟= £（b ^0）可以从正负数和零的乘法、除法 |b| b 法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证 明a + b 3|a +b 对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证 明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大?显然a -a ，当且仅当a — 0时等号成立（即在a — 0时，等号成立。
在a ：：： 0时，等号不成立）。
同样，a 】：：-a.当且仅当a_0时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a 一 £、a 一 -a 及绝对值的和的 性质。
二、典型例题：例 1、证明（1）a +|b K a +b ，证明(1)如果 a + b K0,那么 a + b = a + b.所以 a +|b ^a + b= |a + b.女口 果 a + bc0, 那 么 a + b = —(a + b). 所 以a 十b 启一a + (—b) = -(a + b) = a 十 b（2）根据（1）的结果，有 a+b+| —bAa+b —b ,就是，a + b + b 斗a所以，a +b z a — b 。
例2、证明 a - b 勻a —b 勻a + b 。
例 3、证明 a —b w|a —c +|b —c 。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A, B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a, b, c,则线段AB 冬AC CB. 当且仅当C 在A, B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c = 0（即 C 为原点），就得到例2的后半部分。
）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式 a +|b A|a + b 的几何解释? 定理1 如果a, b € R ,那么a + b 兰a + b .c x —a < — 2由(1), (2)得：(x + y) —(a + b) vc例5、已知x <, y 圭彳.求证：2x —3y va 。
证明 常x ■<§,『£空，二2x <空，3『£空,4 6 22 由例1及上式，2x —3y 兰2x +|3y| £空=a 。
2 2 注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写 法，只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习：cc 1、 已知 A —a c ㊁，B —b| £ 丁 求证：(A —B) — (a —b) c c 。
在上面不等式中,用向量a,b 分别替换实数 则当a ，b 不共线时,由向量加法三角形法则： 向量a,b ,a - b 构成三角形，因此有| a+b | <其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例 1,例2和例3的结果来证明。
c . c x —a < —，y_b <- 2 2证明（x 十 y ） -（a + b ） = | （x - a ）十（y - b ） < x例4、已知 ,求证(x y) _ (a b) :: c. -a y_b (1) x —a + y —b(2)c c2、已知x -^ <-, y -b <-.求证：2x _3y _2a+3b c c。
作业：习题1.2 2、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程;2. 了解定理1的两种证明思路及其几何意义；3. 理解绝对值三角不等式.0☆预习内容：1 •绝对值的定义：-R , |a| =2. 绝对值的几何意义：1 0.实数a的绝对值|a|,表示数轴上坐标为a的点A _________________________--------------- • -------- f ------- *-----------------0 5 J a i20.-两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为代B ,那么|a _ b |的几何意义是___________________________________________3. 定理1的内容是什么？其证法有几种？4. 若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5. 定理2是怎么利用定理1证明的？☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例 1 设函数 f (x) = x +1 - x -4 .1解不等式f(x) 2 ；2求函数y = f(x)的最值.2. 绝对值三角不等式：探究|a| , |b|, |a-b|之间的关系.①a b 0时,如下图，容易得：|a b|_|a| |b|.-------------- ** ------------------- *—— ----------------- > ------------ r：■—* ------------- •——*■O a h a+b x”+b 占0 0②a b ： 0时,如图,容易得：|a，b| _|a| |b|.b a+b 0 a x Q 0 ^+b b③ a b =0 时,显然有：|a b| |a||b|.综上，得 定理1如果a,b ・R ,那么|a b| |a| |b|.当且仅当 _______________________ 时,等号成在上面不等式中,用向量a,b 分别替换实数a,b ,则当寸；不共线时，由向量加法三角形法则：向量a,b ,a - b 构成三角形,因此有|a b l ____ 1 a| |b|它的几何意义就是： ____________________________定理1的证明：3、定理应用 例 2 （ 1） a,b^R 证明 a +b ^a — b ，c c（2）已知 x -a | .；：亍，y -b | .；：• ，求证（x y ） -（a b ） :: c.。
☆课后练习：a b1.当a 、b • R 时，不等式:-1成立的充要条件是 A. ab = 0 B a 2 b 2 0 C . ab ：： 0 D . ab 0定理2如果a,b,c ・R ,那么|a _c| |a -b 「|b -c|.当且仅当 _________ 时，等号成2. 对任意实数x , |x 1| |^2| .a恒成立，则a的取值范围是___________ ;3. 对任意实数x , |x-1^|x 3h：：a恒成立，则a的取值范围是__________4. 若关于x的不等式| x 一4 | - |x 3h：： a的解集不是空集，则a的取值范围是___5. 方程|卷| =韻的解集为不等式1亡卜亡的解集是___________________________6. 已知方程| 2x-1| -|2x• 1|=a 1有实数解，则a的取值范围为____________________ 。
7. 画出不等式|x + y兰1的图形，并指出其解的范围。
利用不等式的图形解不等式1 卜+1 —乂一1<:1; 2 x+2y".8.解不等式:3 1 °> 2x —1 < x—1X+1|+X+2A3 ; 4 "、X+2-X-1+3A09. 1 、已知x : a, y4诗.求证: 2x —3y < a。
10.1 °、已知 x c 掐，y <掐.求证： xy va.y2 ”、已知 x <ch, y ACA O.求证：一ch. y2 °、已知x 亠4，_b<6.求证："-旳-羽+甌 :::c o3、已知 A —a , B —'b (AB C ） -（a b c ）| ；： s参考答案:☆课后练习1、 B.2、 a v 33、 a > 44、 a > 75、 {-3 v x v =-2 或 x > =0} {x<0 或 x>2}6、 -3<=a<-17、 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。
在第一象限内不等式等价于:x_0 ， y_0, x y^1.其图形是由第一象限中直线 y = 1 - x 下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。
从而得到不等式 x • y 乞1的图形是以原点 O 为中2 、3 （解答略）10、（解答略）心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。
了然。
探究: 利用不等式的图形解不等式1. |x +1 - X C1； 2答案： 8、1、4、x>-2 1、-0.5<x<0.5 0<x<2/3 2 a 9. 1。
、已知x 」y 4 一 a -x ,y < — 4 6 证明 由例1及上式, a 气.求证：2x—3y ••• 2x , 3y < 2x_3y| M|2x + 3y ■■■ a 。
a2， a a a 。
2 2 不等式解的范围一目为2. 、x>-1/2Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。