太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题
课题：绝对值三角不等式
班级： 姓名：
命题日期： 3 月 13日
1．绝对值的意义．
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．
即|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0.
2．绝对值三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：
(1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |⇔(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2⇔a 2
＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |⇔ab ≤|a ||b |⇔ab ≤|ab |，由已知知识可知
ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每
一步都是恒等变形及ab ＝|ab |⇔ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立．
(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明
了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |.
(3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0.
(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.
思考2 说出下列不等式等号成立的条件： (1)|a |＋|b |≥|a ＋b |； (2)|a |－|b |≤|a ＋b |； (3)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.
3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a |≥a ，|a |≥－a 及绝对值的和的性质．
思考3 当|a |>a 时，a ∈________；当|a |>－a 时，a ∈(0，＋∞)．
一层练习
1．若|x －a |<m ，|y －a |<n ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．|x －y |<2m
B ．|x －y |<2n
C ．|x －y |<n －m
D ．|x －y |<n ＋m
2．设ab >0，下面四个不等式其中正确的是( )
①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |； ③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |. A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④
3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．
4．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________
二层练习
5．|x －A |<ε2，|y －A |<ε
2
是|x －y |<ε的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(3，4)
D ．[3，＋∞) 7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )
A ．必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．即不充分也不必要条件 8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．
9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．
10．(2014·江西高考文科)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．
三层练习
11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋1a ＋
|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2.
12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4， 求|a |＋|b |的最大值．
13．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<5
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批改日期： 3 月 18日。