• 满足
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二、初值问题的傅立叶方法
• 由叠加原理就得到柯西问题的解为
1 u x, y, t 2 , e 4a t
2 2 x y
4 a 2t
d d d dd
1 2 4a
, , 0 t e
T
(vu )dxdt (u 2v v 2u )dxdt t 0 0 v u vu dxdt (u v )dSdt n n 0
T 0 T
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一，Green函数
• 如此，我们可以选择v，使其满足
v 2 t v ( x ) (t ) t T : v 0 v 0 t 0, 0 T ; x, ;
G 2G 2 t 0; x t t 0 : G ( x); G 0; x
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二、初值问题的格林函数
• 格林函数有着明显的物理意义：它描述了热量由 一个固定的热点在无限导热介质中的传导过程， 解决这个问题，可以利用傅立叶变换的方法，记 • 则有
0

v dSdt n
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一，Green函数
• 基于同样的思想，我们将热传导方程的初边值问 题归结为一个特殊的初边值问题，如同前一章讨 论的格林函数和黎曼函数一样，如果知道了初边 值问题解的存在和唯一性，就可以证明一般热传 导方程的初边值问题的适定性问题。所以说格林 函数的方法是探讨三类偏微分方程定解问题的主 要工具和思想来源。同样我们称满足初边值问题 的函数为初边值问题的格林函数，并记为
u( x, t ) K ( x , t ) ( )d d K ( x , t ) f ( , )d
0 t
1 x 2 /(4 a 2t ) e , t 0, K ( x , t ) 2a t 0, t 0.
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一，Green函数
• 为了构造热传导方程的格林函数，假设
L[u ] u 2 u f ( x, t ) t
• 按照共轭算子的构造方法，不难看此时
L[v] v 2v t
• 考虑热传导方程的初边值问题
u 2 u f ( x, t ) t t 0 : u ( x, 0) g ( x ) u h( x) t 0, x x
• 恒等式的左端
T
(vL[u] uL [v])dxdt (vf u ( x ) (t ))dxdt vfdxdt u( , )
0 0 0
T
T
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一，Green函数
• 恒等式的右端为
v u v T vu dx ( u v ) dSdt vu ( x , 0) dx u dSdt 0 n n n 0 0 vg ( x)dx
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一，Green函数
• 则在区域上 (0, T )考虑积分
T
v u 2 2 ( vL [ u ] uL [ v ]) dxdt ( v ( u ) u ( v ) dxdt t t 0 0
T T
T 0 T T
h( x )
v dSdt n
T
• 这样就得到
T
vfdxdt u( , ) vg ( x)dx
0 T T 0
0
h( x )
h( x )
v dSdt n
u ( , ) vg ( x)dx vfdxdt
x2 y 2 4 a 2t
• 可得初值问题的解为
1 u x, y, t 2 , e 4a t
2 2 x y
4 a 2t
d d
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二、初值问题的傅立叶方法
• 非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题
第六章 抛物型方程
第3节 热传导方程的变换方法 第4节 热传导方程的Green函数
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第3节 热传导方程的变换方法
• 一、空间Fourier变换 • 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合 数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声 学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广 泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对 应的幅值大小）。
G( x, t; , )
t t
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• 可以证明
v 2 v ( x ) (t ) t t T : v 0 v 0 t 0, 0 T ; x, ;
• 等价于
G 2 L [ G ] G0 0 t ; x, ; t t : G ( x ); t : G 0 G 0
• 这个公式称为傅立叶积分公式。
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一、空间Fourier变换
• 如果令
1 g ( ) 2


f ( )e i d F [ f ]
•有
f ( x)
1



g ( )ei x d F 1[ g ]
f ( x) F [ F[ f ]]
• 尺度变换性质等等， • 微分关系
• 卷积定理
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一、空间Fourier变换
• n维空间上的Fourier变换
f (x) 1 (2 )n
ik ( x-ξ ) d k f ( ξ ) e dξ Rn
Rn
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二、初值问题的傅立叶方法
• 利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问 题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去， 经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而 可以找出一个解，再经过Fourier的逆变换，得到 原热传导方程的解．
F[G] G
G , t 0 k 2G t t 0 : G (k , 0) 1
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二、初值问题的格林函数
• 求解上述常微分方程的初值问题，得到
(k , t ) e G
• 由傅立叶逆变换，有
1 G( x, t ) 2
s e ds
2
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二、初值问题的格林函数
• 我们得到
G( x, t ) 1 2 t e
x2 4t
, t 0
• 回到原来的物理量，则在一维的情形下，在直线 上解为
1 G ( x, t ; , ) e 2 ( t )
( x )2 4( t )

k 2t
e
k 2t ixk
1 e dk e 2

x 2 4t
e
t ( k ix /2t )2
1 dk e 2

x2 4t

ix /2 t
ix /2 t
e s ds
2
k s / t ix / 2t • 其中： ，由柯西定理，上述积分等于 沿实轴的积分，由
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二、初值问题的傅立叶方法
• 一维热传导方程的初值问题
2 u u 2 f ( x, t ), x , t 0, a 2 x t u ( x, 0) ( x), x .
• 应用Fourier变换解初值问题，可得到
2 u a uxx u yy f x, y, t t u x, y.0 0
• 由齐次化原理，此柯西问题的解可写为
u x, y, t x, y, t; d
0 t
2 a xx yy , t t x, y, f x, y,
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二、初值问题的傅立叶方法
• 常微分方程的柯西问题，它的解为
U 1 , 2 , t 1 , 2 e
a 2 1 2 t
• 再由Fourier逆变换
a F e －1
2 2 12 2
t

1 e 2 4a t
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一、空间Fourier变换
• 首先从一维空间中，给出傅立叶变换的定义和结 论，并很容易的推广的一般n维空间。可以证明， 若f(x)在整个空间上连续可微，且绝对可积，必成 立
1 f ( x) 2
i ( x ) d f ( ) e d
g ( ) F[ F [ g ]]
1
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一、空间Fourier变换
• 线性性质 • 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅 里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后 再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数和 的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则有
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一、空间Fourier变换
t
2 2 x y 4 a 2 t
• 在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行 傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是 形式解．为证明上式确实是柯西问题的解，还得 进行验证
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第四节 热传导方程的Green函数
• 一，Green函数 • 在第五章我们讨论的Laplace方程的格林函数，以 及双曲方程的黎曼函数，一般性地揭示了物理过 程的数学原理，另一方面，对于定解问题的解给 出了一种构造方法。 • 主要思想选择共轭算子vL[u] uL[v] 使得可以成为 散度形式，这样可以选择一个合适区域，在这个 区域上利用Green公式，适当的定义v，称为该问 题的格林函数