(2.19.1) (2.19.2) (2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
3 3 4 7 5 n x x x um 2 4 3u n 3 3 4 7 5 n h 3 ( 3 ) m x x x um x 2 4 1 37 n ( x x ) 3 ( x x ) 5 ( x x ) 7 u m 2 120
T u u
n m
1 2 x
n 1 m 2
,
n Tx um u n

1 2
m
1 2
n x 为 x 方向平均算子， xum 1 (u n 1 u n 1 )
2
m
2
m
2Hale Waihona Puke x 方向的差分算子:其中:
n n n xum um1 um
un
m
1 2
h u ( xm , tn ) 2
(2.20.1) (2.20.2) (2.20.3)
4 17 6 n 5 x 2 x 6 x um 4u n 4 17 6 n 4 5 h ( 4 ) m x 2 x x um x 6 7 8 n 4 1 6 x x x um 6 240
(2.14)
(2.15)
x T Tx
1
则
x exp( hDx ) exp( hDx ) 2 1 2 双曲正弦 x 2 sinh( hDx ) 2 1 1 3 32 hDx 2ar sinh( x ) x 2 x 4 x5 2 2 3! 2 5!
因为 故
同理 因为
x Tx I ,
Tx x I
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 x 1 2
1 2
(x)为给定的初始函数。
( x, t )
0 x 1 (2.3) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础 为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域 用二组平行于 t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k ，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h, k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
(2.18.1) (2.18.2) (2.18.3)
返回
又由
2 h 2 Dx ln( I x )
2 2 x
h D ln( I x )
2 2 x
2
2
2
1 h D 2ar sinh( x ) 2
可得二阶偏导数的差分表达式
2 11 n x 3x 4x um 12 2 11 3 2 n 2 u n 3 h ( 2 ) m x x x u m x 12 n 2 1 4 1 6 x x x um 12 90
(2) 初边值问题(或称混合问题) 在区域上 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T 求函数u( x, t ) ，使满足 边值条件
方程(2.1) u ( x ,0 ) ( x ) u (0, t ) (t ), u (1, t ) (t )
u 2 L( x, t , Dx , Dx )u t
2 D Dx , Dx的线性算子， x x L 是关于
(2.22)
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。包括二个相 邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开 式推出
k k 2 2 k 3 3 u ( x, t k ) (1 )u ( x, t ) 2 3 1! t 2! t 3! t
(2.21.1) (2.21.2) (2.21.3)
从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以 得到偏导数的各种精度的近似表达式。 在 h( u ) 的前差表达式中取第一项，则有 x
n m
u n n n n h( ) m xum um1 um x
且
h(
u n 1 1 n n n n ) m (um1 um ) 2xum 3xum x 2 3
t n nk T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,
xm mh
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T ，则网格是
前差算子: x , 后差算子: x ,
(2.9) (2. 10) (2.11)
2
n n n xum um um1
n n n 中心差算子: x , xum um 1 um 1 2
建立差分算子和导数算子之间的关系，由 Talyor 展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n n n um1 um ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
(2.24)
35 38 2 1 D 将式(2.17)， x h ar sinh(2 x ) ,代入算子L中，即在L 中用中心差分算子 x 代替了微分算子Dx ，于是有
2 1 2 1 n n um1 exp( kL(mk , ar sinh( x ), ( ar sinh( x )) 2 ))um h 2 h 2
1
(2.16) 46 (2.17)
32
式(2.14)，(2.15)，(2.17)分别给出了偏导数算 子关于前差、后差、中心差的级数表达式
利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式
1 1 n x 2x 3x um 2 3 u 1 1 n h( ) n x 2 3 um m x x x 2 3 1 3 n 3 5 x x 6 ( x x ) 40 ( x x ) um
通常考虑的定解问题有： (1) 初值问题(或称Cauchy问题) 在区域 ( x, t ) | x ,0 t T 上求函 数，使满足 初值条件
方程(2.1) u ( x,0) ( x) ( x, t ) x
(2.2)
由Taylor展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x h u n h 2 2u n h 3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
(2.25)
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目前通常用于解方程(2.1)的各种差分方程， 都是方程(2.25)的近似表达式。下面各节，我们将 以式(2.25)为基础，对简单的抛物型方程，推导一 些常用差分格式。
exp( k )u ( x, t ) t
n x mh, t nk, um1 u (mh, (n 1)k )，于是 设 n n 1 um exp( k )um t
(2.23)
如果算子L不依赖于t，即 L L( x, Dx , Dx2 ) ，则
n n um1 exp( kL)um
第2章抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础 2.2 显式差分格式 2.3 隐式差分格式 2.4 解三对角形方程的追赶法 2.5 差分格式的稳定性和收敛性 2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 2.7 二维抛物型方程的差分格式 2.8 交替方向的隐式差分格式( ADI 格式)
本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法， 主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题 以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程 的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的 差分解法也进行了研究。 众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
则u 在( xm , tn )处对 x 的一阶偏导数有三个可能的近似:
n n u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , tn ) um1 um ( )m x h h
向前差商
(2.5) (2.6)
n n u n u ( xm , t n ) u ( xm1 , t n ) um um1 ( )m x h h
h n h2 2 I Dx Dx um 2! 1!
n exp( hDx )um
I为恒等算子
由 得
n n um 1 Tx um
Tx exp( hDx )
(2.12) (2.13)
hDx ln Tx1
或者 同理有
hDx ln Tx
Tx1 exp( hDx )
t n nk
xm mh
T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,, M ; Mh 1
在 t 0, x 0, x 1上的结点称为边界结点，属于 内的结点称为内部结点。 差分方程就是在网格点上求出微分方程解 的近似值的一种方法，因此又称为网格法。 构造逼近微分方程的差分方程的方法。 研究导数的差商近似表达式。为此对二元函 n u u ( x, t ) um u ( xm , t n )，且假定 u u ( x, t ) 具有我 数 定义 们需要的有界偏导数。
又由二阶导数的前差表达式(2.19.1)，得