概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。
解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B为两相互独立的随机事件, P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求P(A B), P(A B), P( A | B) 。
解：P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。
3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9 ，求P( B), P(A B) 。
解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。
4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求P(A B), P( AB) 。
解：P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.8,P( A B)P( A B)P(A)P(A)B 。
0. 25. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P(A B C) 。
解：P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。
6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) P2CC4210215；(2) P1 1C C4 62C10815。
7. 从0 ~ 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。
解：P1 2C C1 53C10112。
18. 从(0,1) 中任取两数，求两数之和小于0.8 的概率。
解：10.8 0.82 0.32 P 。
19. 甲袋中装有5只红球，15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 A “从甲袋中取出的是红球”，B “从乙袋中取出的是红球”，则：1 3 1 2P( A) , P ( A ) ,P (B|A ) ,P B(A|) ,4 4 2 5由全概率公式得：17P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A) 。
4010. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设A1 ,A2 ,A3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， B 表示买到合格品，则P( A ) 0. 5P,A() 0.P4 ,A ( ) P0. B1,A( | ) P 0.B9 5A,( | P)B0. A,85 ,( | )1 2 3 1 2 33由全概率公式得P( B) P( A i ) P(B | A i ) 0.895 ；i 1(2) P( A | B)1 P( A B) P(A )P(B | A ) 0.475 951 1 1P(B) P(B) 0.895 179。
二．一维随机变量及其数字特征1. 已知X 的概率密度函数 f (x) kx 1, 0 x 20, else，求1k, P X , EX 。
2解：21f (x )dx (kx 1)dx 2k 2 1 k ,21 1 92P X x 1 d x ，12 2 1 622 1 2EX x x 1 dx 。
2 32. 设X ~ B(3 , 0.1)，求P X 2 , P{ X 1} 。
解： 2 2 3 P{ X 2} C (0.1) (0.9) 0.027, P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.9 0.271。
33. 设三次独立随机试验中事件 A 出现的概率相同，已知事件 A 至少出现一次的概率为验中出现的概率p 。
3764，求A 在一次试解：三次试验中 A 出现的次数X ~ B (3, p) ，由题意：237 1 0 0 3 3P{ X 1} 1 P X 0 1 C3 p (1 p) 1 (1 p) p 。
64 4100,x111. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为2f ( x) x，0, else(1) 求P{ X 1500} ；(2) 任取5只灯管，求其中至少有 2 只寿命大于1500 的概率。
解：(1)1000 2 P{ X 1500} dx21500 x3；(2) 设5 只灯管中寿命大于1500 的个数为Y ，则2Y ~ B 5, ，故35 41 2 1 232P{Y 2} 1 P{Y 0} P{Y 1} 1 5 。
3 3 3 243 12. 设X ~ B(n, p), EX 1.6, DX 1.28, 求n, p 。
解：EX np 1.6, DX np (1 p) 1.28 n 8, p 0.2。
13. 设X ~ (2) ，求2P{ X 2}, E(X 2X 3)。
解： 2P{ X 2} 1 3e ，22 2E(X2X3) E( X) 2EX 3 EX DX 2EX 3 4 2 4 3 7 。
14. 设X ~ U [ 1,6 ]，求P 4 X 2 。
解：1f (x) 70,, 1 x 6else，1 32 1 2P 4 X 2 f ( x)dx 0dx dx 。
4 14 7715. 设X 服从( 1,5 )上的均匀分布，求方程 2 1 0t Xt 有实根的概率。
解：1f (x) 60,, 1 x 5else， 51 12P{ 0} P{ X 4 0} dx 。
26 216. 设X ~ U [1,3] ，求EX , DX , E 1X。
解：12(3 1) 1 , 1 x 3 1 1 1 13EX 2, DX , f (x) 2 , E dx ln312 3 X x 2 210, else。
317. 设某机器生产的螺丝长度X ~ N (10.05,0.0036) 。
规定长度在范围10.05 0.12内为合格，求螺丝不合格的概率。
解：螺丝合格的概率为P 10.05 0.12 X 10 .05 0 .12 P0 .120.906X 4.050 .060 .120 .06(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456 。
5. 设X ~ N (0,4) ，Y 2X3000 ，求EY 、DY 及Y 的分布。
解：EY 2EX 3000 3000, DY 4DX 16, Y ~ N (3000,16) 。
6. 设X 与Y 独立，且X ~ N (1,1) , Y ~ N (1,3), 求E(2 X Y), D(2 X Y)。
解：E(2X Y)2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX DY 7 。
7. 设1X ~ (4), Y ~ B 4, , 0.6, 求D(3 X 2Y) 。
XY2解：(3 2 ) 9 4 12 25.6D X Y DX DY DX DY 。
XY8. 设X ~ U [ 1,2 ]，求Y X 的概率密度函数。
解：F ( y) P Y y P{ X y}Y(1) 当y 0时，F Y ( y) 0；1 2 y(2) 当0 y 1时，F ( y) dx y ；Y 3y 3(3) 当1 y 2 时， 11 y 1 yF Y ( y) 0dx dx ；y 1 33 (4) 当y 2时，F Y ( y) 1；故F (y)Y 0, y 023y, 0 y 1y31, 1 y 2，23, 0 y 11f (y) F ( y) , 1 y 2Y Y30, else。
1, y 2三．二维随机变量及其数字特征1. 已知(X,Y)的联合分布律为：4YX1 1 25 0.1 0.4 05 0.2 a 0.2(1) 求a ；(2) 求P X 0,Y 1 , P{Y 1| X 5} ；(3) 求X ,Y 的边缘分布律；(4) 求XY ；(5) 判断X ,Y是否独立。
解：(1) a 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2；(4) EX 0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X,Y) 0, XY 0 ；(5) 18.0.419.0.1，不独立。
0.10已知(X,Y)的联合分布律为：XY1 0 20 a 19161 19b13且X 与Y 相互独立，求：(1) a,b 的值；(2) P{ XY 0} ；(3) X,Y的边缘分布律；(4) EX , EY, DX , DY ；(5) Z XY 的分布律。
1 1解：(1) a 1 29 6 ,a b1 1 18 9b9 3;5(2)4 5 P{ XY 0} 1 P{ XY 0} 1 ；9 9(3)1 1 1 12 X : , , ; Y : , ；6 3 2 3 3(4)5 13 53 2 2 22 2 2 2 2 2EX , EX , DX EX (EX ) , EY , EY , DY EY (EY) ；6 6 36 3 3 9(5)1 5 1 P{ Z 1}, P{ Z 0} , P{Z 2} 。
9 9 320. 已知( X ,Y) 的概率密度函数为 f (x, y) c(x y), 0 x 2,0 y 10, else，求：(1) 常数c；(2) 关于变量X 的边缘概率密度函数f X ( x) ；(3) E(X Y)。
解：(1)2 1 21 1f (x, y )dxdy dx c(x y )dy c x dx 2c c 3c 1 c ；0 0 02 3(2)1 1 11(x y) dy x , 0 x 2 f (x) f (x, y)dy 3 3 2X0, else；(3)1 162 12E( X Y)( x y) f (x, y) dxdy dx ( x y) dy 。
0 0 9321. 设(X,Y) 的概率密度函数为： f ( x, y) Axy, 0 x 1,0 y x 0, else，(1) 求A ；(2) 求( ), ( )f x f y ；X Y(3) 判断X ,Y是否独立；(4) 求1P Y , P X Y 1 ；2(5) 求cov( X ,Y) 。