一个测量系统的频率特性为W j ，它要执行的功能 用理想频率特性表示为WN j时，二者之间存在的误
差。动态幅值误差ε表示为：
W j WN j 100% WN j
动态相位绝对误差为：
N
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系统动态误差与信号频率的关系
（2）典型环节的动态误差：
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测试系统的数学模型
A，常系数线性微分方程
d n y t
d n1y t
an dt n an1 dt n1
d m x t
d m1x t
bm dt m bm1 dt m1
a1
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
B，传递函数：当t≤0时，x(t)=0，y(t)=0
arctan
1
1 2
20 lg A / dB
0 -3 -10
0° －20°
－40° －60° －80°
-20 0.1
1.0
0.1 10
1.0
10
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测试系统的动态特性参数
20lg A / dB 0
-3
-10
-20 0.1/τ
1/τ
由图可见：
10/τ
Ti
duo dt
uo
ui
x ky b dy dt
令 b / k, K 1/ k dy y Kx
dt
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常见测试系统的数学模型
（二）、二阶系统微分方程通式——振荡环节
a2 a0
d 2 y(t) dt 2
a1 a0
dy(t) dt
y(t)
系统动态误差与信号频率的关系
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系统动态误差与信号频率的关系
信号频率与一些系统转折频率之比（ / ＝ f / f ）
与动态幅值误差ε的关系计算如下：
f / f
ε (%)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1.0 -0.5 -1.9 -4.2 -7.1 -10.5 -14 -18 -29
t
e0t
1 2
sin dt
arctan
1 2
令
t
t
0，可求得t p
d
，将t
代入上式得
p
tp
e e / 1 2
0t p
（推导）
从而可求得
ln tp
2 ln
tp
2
0
tp
1 2
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系统动态误差与信号频率的关系
（1）动态误差：
现代检测技术
系统动态特性
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系统动态特性
❖ 对理想的测试系统，输出与输入具有相同时间函数。
▪ 对于测量动态信号的测试系统，要求能够迅速而准确的测 出信号的大小并真实再现信号的波形变化，但是在实际系 统中，由于存在弹簧、阻尼、质量（惯性）等元件，只能 在一定频率范围内、对应一定动态误差条件下保持输出与 输入一致。
幅频特性：
A() H
1
1
0
2 2
2
0
2
相频特性：
2
arctan
0
1
0
2
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测试系统的动态特性参数
L 20 lg A / dB
10
0
ζ小
-10 ζ大
-20
0.1
1
10
/0
0
ζ小
-90° ζ大
-180°
测试系统的动态特性参数
二阶系统阶跃响应特性参数——时域指标
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测试系统的动态特性参数
• 延迟时间 td：输出由零上升到稳态值的一 半所需的时间。
• 上升时间 tr：输出由稳态值的10%上升到 稳态值的90%所需的时间。
•
峰值时间
t
：输出由零上升到第一个峰值
测试系统的动态特性参数
1临界阻尼情况：（推导）
y t KA 1 1 0t e0t y t KA 单调衰减项，无振荡。
1 过阻尼情况：（推导）
y t
1
2
1 e
2 1 0t
1 e 2
2 1 0t
2 2 1
2 2 1
无振荡，近似按一阶系统对待。
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测试系统的数学模型
一阶系统频 率响应特性
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测试系统的数学模型
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测试系统的数学模型
❖ 任何高阶系统均可以视为多个一阶、二阶系统的并联或串联。
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常见测试系统的数学模型
-20 0.1/τ
1/τ
10/τ
c， 当 1 , A() 0.7073dB, 45 ，称 1
为转折频率或截止角频率。因此τ越小转折频率越
大，系统的动态范围越宽。
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测试系统的动态特性参数
（2） 二阶系统频率特性与图示：令K＝1
1 d 2 y 2 dy y Kx 02 dt2 0 dt
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测试系统的数学模型
H Y / X A e j
幅频特性：表示输出与输入幅值比随ω的变化
A
Y X
H
对数幅频特性： L 20lg A
相频特性：表示输出与输入相位差随ω的变化
arg H
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由 dA() d
0可得，当0
0.707，存在谐振频率n
0
1 2 2，
n时，幅频特性曲线达到峰值,A(n ) 2
1。
1 2
当 0时，系统发生共振，A(n ) 。 当 0.707时，系统无共振，A()随增大而减小。
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测试系统的动态特性参数
a） 一阶系统的动态误差 执行传递信号功能的一阶系统的理想频率特性的模为
WN j const W 0 由于 W j H K , W 0 K
1 2
所以一阶系统动态幅值误差表达式为：
1
1 100%
1
1 100%
1 2
1 / 2
相位误差表达式为： arctan
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反映系统的响应速度，通常Tr 4 称为响应时间。
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测试系统的动态特性参数
•τ的测量
Z O
△Z △t
t
e
1
y t
t
A
t
Z
ln 1
y t
A
t
Z
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测试系统的动态特性参数
• 输出终值 y 实时快速测定
C，频率响应：
H
j
Y j X j
bm an
j m bm1 j m1 j n an1 j n1
b1 j b0 a1 j a0
频率响应函数是传递函数的特例，可以由傅立
叶变换得到。频率响应函数反映的是系统处于稳态 输出阶段的输入输出特性，传递函数则反映了激励 所引起的系统固有的瞬态输出特性和对应该激励的 稳态输出特性。
❖ 通过时间响应、频率响应和系统动态特性的关系，可以：
▪ 根据信号频率范围和测量误差要求确立测量系统； ▪ 已知系统动态特性，估算可测信号的频率范围与对应的动
态误差。
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主要内容
测试系统的数学模型 常见测试系统的数学模型 测试系统的动态特性参数 系统动态误差与信号频率的关系 实现系统不失真测试的条件
y(t)
uu23 u1
0 △t △t
将一阶微分方程改为差分方程
A
U2 U1 t
U2
A
(1)
U3 U2 t
U3
A
(2)
A y
U
2 2
U1U 3
t
2U2 U3 U1
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测试系统的动态特性参数
(4) 二阶系统阶跃响应特性与特性参数
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（一）一阶系统微分方程通式：
a 1 dy y b0 x
a0 dt
a0
dy y Kx
dt
式中： y ——系统输出
x ——系统输入
a 1 ——时间常数 K b0 ——静态灵敏度（放大倍数）
a0
a0
传递函数：
H
s
Y X
s s
K
1 s
频率特性：
H
Y X
K
1 j
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a，当ω<1/τ时， A(接) 近于1，输入输出几乎相等，
L 20lg A() 0
b，当ω增大时，
A( )减小，
A
10
1 10
A
1
，工作