A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
rAn (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
A的行(列)向量组线性无关
任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示
A的特征值均不为零 ATP A为1正AP 定阵.E
方阵A与E 相似 A = E
A正定
i >0 p=n A=PTP k>0
判断题:
[ ]1.若A2 ,则A.
线性代数高等代数知识点总结 优秀课件
概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
0,
当i j;
n
D, 当i j,
或
aik Ajk
k 1
伴随
(A*)*=|A|n2A*
AA*=A*A=|A|I
其它
A-1=|A|-1A* 当A可逆时，
A*＝|A|A1
15
行列式
秩数
加法
r(A+B)≤r(A)+r(B)
数乘 |kA|=kn|A|
r(kA)=r(A) (k≠0)
乘法 |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B)
转置 |AT|=|A|
r(AT)=rA)=n 伴随 |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n1
0, 若r(A)<n1
其它
定义 性质
若P, Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
16
初等变换
行变换
列变换
换法变换
倍法变换
消法变换
D ij
0,
当i j.
其中， ij
1, 0,
i j i j
计算
数字 型
抽象 型
三角化法； 重要行列式法； 加边法； 递推法。
用行列式性质； 用矩阵性质； 用特征值； 利用矩阵相似。
【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式 的计算及其证明.
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
•
每个秩数为r的矩阵都等价于
Ir 0
0
0
• 对于m×n矩阵A，B下列条件等价
1. AB，即A可由初等变换化成B
2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
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多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 A B B A E
A 0 (非退化阵) A x0只 有 零 解 A xb有 唯 一 解
对单位矩阵做一次初等变换
1
1
1
01
1
0
1
1
c
1
1
1
c1
1
对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A
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矩阵等价
• A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB
• 每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵
• A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
a11 a22
* a11
a22
0 a11a22 ann
0
ann *
ann
0
a1n *
a1n
a2(n1)
a2(n1)
n(n1)
(1) 2 a a1n 2(n1) an1
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
1.错（不满足消去律） 2对 3 错（不满足交换律） 4.错（不一定是方阵） 5.对 6 错 （同4） 7对 8对 9 错（不存在关于加法的公式，同理行列 式也不存在关于加法的公式）
4、若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A|1
5、若A是n阶矩阵，i(i1,2, ,n) 是A的n个特征值，则
n
| A | i i1
6、若A与B相似，则 | A || B |
行列式的计算（重点）
常用方法：
三角化法 展开降阶法（和消元相结合最为有效） 加边法 归纳法
化为已知行列式（一些有固定形式的行列 式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式 等）
an1
* an1
0
2.范氏行列式
111
x1 x2 x3
x12
x22
x32
x x x n1
n1
n1
1
2
3
1
xn
xn2
(xi x j )
ni j1
xn1 n
3.箭式行列式
x1 a2 a3 b2 x2 0 b3 0 x3
bn 0 0
an 0
x1
k
n 2
ak bk xk
0
b2
x2 0
b3
0 x3
[ ]2.若A,B为同阶矩,阵 则(AB)T AT BT. [ ]3.若A,B为n阶方阵,则(AB)(AB) A2 B2. [ ]4.若矩阵A,B有AB0,则A 0或B 0. [ ]5.若A,B均为n阶方阵,若AB0,则A 0或B 0. [ ]6.对于任意矩 A,B阵 .有AB BA. [ ]7.若A,B都是 n阶方,阵 则AB BA. [ ]8.若A,B,C为同阶可逆,则 方(A阵BC)1 C1B1A1. [ ]9.若A,B,为同阶可逆,则 方(A阵 B)1 A1B1. [ ]10.A与B可交换的必要条 A,B件 是为 同阶方 . 阵
xn
bn
00
0
0
( x1
n k2
ak bk xk
)
n k2
xk
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am O A B Am *
* Bn
O Bn
;
O Am (1)mn A B * Am
Bn *
Bn O .
三、有关行列式的几个重要公式
1、若A是n阶矩阵，则 | kA|kn | A|
2、若A,B是n阶矩阵，则 | AB|| A||B| 3、若A是n阶矩阵，则 | A* || A|n1