§2 数学证明
课时目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
1．通过______________可以提出猜想，发现结论，运用______________可以证明结论是否正确．
2．三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括__________、__________和________，大前提往往被省略．
一、选择题
1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②
2．下列说法不正确的个数为( )
①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数，而y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12
x 是增函数”．有关这个“三段论”的推理形式和推理结论正确的说法是( )
A ．形式正确，结论正确
B ．形式错误，结论错误
C ．形式正确，结论错误
D ．形式错误，结论正确
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠
B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝
⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1 (n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 5．“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )
A ．正方形都是对角线相等的四边形
B ．矩形都是对角线相等的四边形
C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D ．矩形都是对边平行且相等的四边形
二、填空题
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．
7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭
⎫12x －1＋12，求证：f (x )是偶函数． 证明：f (x )＝x 2x ＋12(2x －1)
，其定义域为{x |x ≠0}，
又f (－x )＝(－x )2－
x ＋12(2－x －1)＝(－x )1＋2x
2(1－2x )
＝x ·2x ＋12(2x －1)
＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．
此题省略了__________．
8．补充下列推理的三段论：
(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a 与b 互为相反数且________，所以
b ＝8.
(2)因为________________，又因为e ＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e 是无理数．
三、解答题
9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数．
10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .
能力提升
11．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是()
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．2．应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．有时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．
§2数学证明
答案
知识梳理
1．合情推理演绎推理
2．大前提小前提结论
作业设计
1．B
2．C
3．C
4．A 5.B
6．②
解析 ①是大前提，②是小前提，③是结论．
7．大前提
解析 此处省略了“偶函数的定义”这一大前提．
8．(1)a ＝－8
(2)无限不循环小数是无理数
9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y ＝tan α是三角函数，小前提
y ＝tan α是周期函数．结论
10．证明 三角形的中位线平行于底边，大前提
点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提
所以EF ∥BD ，结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提
EF ∥平面BCD .结论
11．A
12．证明 设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1)
＝(x 32－x 31)＋(x 2－x 1
) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1)
＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)
＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1. 因为⎝
⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．
于是根据“三段论”，得函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．。