=⎡ ⎣TA ( f x , f y )e
这是因为 f 0 =
− j 2π lf x
+ TB ( f x , f y )e
j 2π lf x
π π ⎡1 ⎧ j (2π lf x + ) − j (2π lf x + ) ⎫ ⎤ 2 2 ⎤ +e ⎬⎥ ⎦ × ⎢ 2 ⎨1 + e ⎢ ⎩ ⎥ ⎭⎦ ⎣
G ( x2 , y2 ) =
1 1 + e j 2π f0 x2 + e − j 2π f0 x2 2
2
再经过 L3 的傅立叶反变换得到：
t A ( x3 , y3 )e
j
π
2
+ t B ( x3 , y3 )e
−j
π
2
= e 2 [t A ( x3 , y3 ) − tB ( x3 , y3 )]
j
π
常系数对于图像相减不产生影响， 因此在 ( x3 , y3 ) 面原点处得到的是图像 A 和 B 的相减结果。 （2）当光栅原点与坐标原点重合时，振幅透过率为
5
G ( x2 , y2 ) =
1⎧ π ⎤ ⎡ ⎨1 + exp ⎢ j (2π f 0 x2 + ) ⎥ 2⎩ 2 ⎦ ⎣
π ⎤ ⎡ + exp ⎢ − j (2π f 0 x2 + ) ⎥ 2 ⎦ ⎣
试从数学上证明： 1）在输出平面的原点位置得到图象 A、B 的相减运算； 2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 证明： （1）用一维正弦光栅实现两个图像相加或相减的相干处理系统，在本题中输入面坐标 为 ( x1 , y1 ) ，光栅面即频谱滤波面坐标 ( x2 , y2 ) ，为了使输出为原图像而不是放大或缩小的图 像相加减需 f 2 = f 3 = f ，同时为统一用下标表示光场平面坐标，将输出坐标记为 ( x3 , y3 ) 。 不失一般性， 假设对输入面的垂直照明光束为振幅为 1 的平面波， 因而输入面上出射的 光场复振幅分布即为
输出强度分布为
I ( x3 , y3 ) = t '( x3 , y3 )
有两种可能的结果。
2
（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂 直，周期为b’ ，它与物光栅周期b1、b2的关系为
1 1 1 = + 2 2 b’ b1 b2
（1）在频谱面上可放一可调狭缝，逐步缩小狭缝，使只有 0 级、±1 级衍射通过，像 面上光栅像变为正弦形，光栅间距不变。这一变化目测不易察觉，如用感光片记录条纹，则 可看到黑白条纹之间不再有明显界限而是逐步渐变。 （2）进一步缩小狭缝，仅使 0 级衍射通过，这时像面上虽有亮斑，但不出现光栅像。 （3）在谱面上加光阑，使 0 级，±2 级衍射点通过，则像面上的光栅像的空间频率加 倍。 （4）用光阑挡去 0 级衍射而使其他衍射光通过，则像面上发生反衬度的半反转，即原 来暗条纹的中间出现细亮线，而原来亮条纹仍然是亮的。
2.
采用图 1（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线
求输出面上干板记录到的光栅的线密度。 密度为 100 线/mm， 滤波器仅允许 + 2 级频谱透过，
答：根据对 1 题的分析，当滤波器仅允许+ 2 级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为
t’ （x3）= ℱ
-1
{ sinc(
4.
光栅的复振幅透过率为 t（x）= cos 2πf0 x 把它放在 4f 系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2 位相板， 求像面的强度分布。 答：将复振幅透过率函数变换为 t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其频谱为 T（fx）= ℱ [t（x）]
2
3
= 其中 C 是一个常数。
8πx3 2a1 a sinc 2 ( 1 ) cos -C 2 b1 b1 b1
2
故干板上记录到的光栅频率是基频的 4 倍，即 400 线/mm。
3
如图 2 所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀 的照明光场，试说明其原理。
针孔 激光器
∗
sinc(
输出平面光振幅函数为 t’ （x3，y3）= ℱ -1[ T·F ] ={
x x 1 [rect ( 3 ) ∗ comb( 3 ) b1 a1 b1
2
]
-
x a1 rect( 3 ) } b1 b1
×{
y y 1 [rect ( 3 ) ∗ comb( 3 ) b2 a2 b2
]
-
y a2 rect( 3 ) } b2
习 题解答
1. 利用 4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅
⎡1 x x ⎤ ⎡1 y y ⎤ t ( x1 , y1 ) = ⎢ rect( 1 ) ∗ comb( 1 )⎥ × ⎢ rect( 1 ) ∗ comb( 1 )⎥ a1 b1 ⎦ ⎣ b 2 a2 b2 ⎦ ⎣ b1
4
1 1 = δ（fx）+ ℱ [cos 2πf0 x] 2 2 1 1 1 = δ（fx）+ δ（fx- f0）+ δ（fx+ f0） 2 4 4
其中第一项为零级谱，后两项以次为+1 级和-1 级谱。设将λ/ 2 位相板放在+1 级谱上，其透过率表达为 H（fx）= exp（jπ） 则频谱面P2后的光振幅变为 T’= = T·H
5.
在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于输入 ；P2平面上光 平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）
B
栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0 = l /λf，其中λ和f 分别表示入射光的波长和透 镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的 1/4 处，光栅的振幅透过率表示为：
像平面强度分布为 （x）· t’ （x）∗ I = ⎜ t’ （x）⎜2 = t’ =
1 [1- j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] 4 1 1 = + sin2（2πf0x3） 4 4
像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小 1 倍，振幅减小 4 倍，本底也有所变化， 并且出现图形的横向位移，位移量为 1/2 周期。
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a1 2 2 )[δ ( f x - ) + δ ( f x + )] } b1 b1 b1
=
4πx3 2a1 a sin c( 1 ) cos b1 b1 b1
其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的 2 倍。而干板记录到的是强度分布：
4πx3 4a1 a sinc 2 ( 1 ) cos 2 I= 2 b1 b1 b1
=
输出强度分布为 I（x3，y3）=
2πx3 4 a1 a sinc 2 ( 1 )•cos 2 ( ) 2 b1 b1 b1
2
=
4πx 3 2 a1 a sinc 2 ( 1 )•cos( ) -C 2 b1 b1 b1
2
其中 C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。 （2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为
t A ( x1 − l , y1 ) + t A ( x1 + l , y1 )
经过透镜 L2 做傅立叶变换 ( x2 , y2 ) 平面上得到的光场复振幅分布为：
F {[t A ( x1 − l , y1 ) + t B ( x1 + l , y1 )]} = TA ( f , x f y )e − j 2π lf x + TB ( f , x f y )e j 2π lf x
x x y y 1 1 ℱ [ rect( 1 ) ]·ℱ [ comb( 1 ) ] } ∗{ ℱ [ rect( 1 ) ·ℱ [ comb( 1 ) ]} b2 a1 b1 a2 b2 b1
a1 a a 1 1 {sinc( a1 f x ) + sinc( 1 )δ(f x - ) + sinc( 1 )δ(f x + ) +••• } b1 b1 b1 b1 b1
L1
L2
题3
图2
答： 在 3 图中， 激光器通过两透镜产生平行光时会出现不均匀照明的主要原因常常是激光器 出射窗口及第一个透镜L1表面上污物，使光束产生衍射造成的。这些衍射光不会会聚到L1焦 点处，实际上是光束的高频分量。在针孔光栏的作用下，除了焦点处的光以外的高频分量均 不能通过L2传播出去，就会减少造成光束不均匀的衍射光，从而减少照明光场中的不均匀。
式中 TA = F {t A ( x1 , y1 )} 且 fx =
TB = F {t B ( x1 , y1 )}
x2 λf
fy =
y2 λf
通过原点置于周期的 1/4 处的光栅以后，透过的光场复振幅分布为：
π π ⎡1 ⎧ j (2π f 0 x2 + ) − j (2π f 0 x2 + ) ⎫ ⎤ − j 2π lf x j 2π lf x 2 2 ⎡ ⎤ T f f e T f f e e e ( , ) ( , ) 1 + × + + ⎬⎥ B x y ⎣ A x y ⎦ ⎢2 ⎨ ⎢ ⎩ ⎥ ⎭⎦ ⎣