第四章4-1根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本原则4-3 参量根轨迹第四章 根轨迹法[教学目的]：理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。

掌握系统根轨迹所揭示出的系统极零点对系统性质的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性质。

[主要内容]：一、根轨迹的基本概念 二、系统根轨迹的绘制原则 三、零度根轨迹与参数根轨迹[重点]：掌握根轨迹的基本概念。

根轨迹的定义及根轨迹方程，相角条件和幅值条件。

[难点]：根轨迹的正确绘制。

深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。

[讲授技巧及注意事项]：由第三章的内容引出，并紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识。

引言1.不同研究内容所需的传递函数：()()()()()()1G s C s s R s G s H s Φ==+()()()()B s G s H s E s =()()10G s H s +=闭环传递函数：()1E s 闭环系统开环传递函数：特征方程2.三大性能同各个传递函数的关系1）稳定性：用特征方程来分析，只与开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点的分布。

2）稳态性能：用闭环系统的误差传递函数来研究，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。

3）动态性能：用闭环传递函数，这时不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。

研究闭环系统的零极点及闭环增益。

3.分析方法及思路1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，-------很容易获得；（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；（3）可以直接求取稳态误差；(4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。

2)一个美好的愿望：开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→分析系统的三大类性能。

对此，1948年美国的伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该方法称为根轨迹法。

根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方程，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。

应用根轨迹法通过简单计算便可确定系统的闭环极点分布，并同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。

4-1根轨迹的基本概念根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。

根轨迹方程得自反馈系统的特征方程，其求取步骤是： 1.写出反馈系统的特征方程，即式中 G(s) ——反馈系统前向通道传递函数；H(s) ——反馈系统主反馈通道传递函数；G(s)H(s) —— 反馈系统的开环传递函数；“+”号对应负反馈系统；“-”号对应正反馈系统。

2绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即（负反馈系统） 及 （正反馈系统）A. 绘制反馈系统根轨迹之前，需对根轨迹方程中的开环传递函数G(s)H(s)化成通过极点与零点表达的标准形式，即 式中:K* ——绘制根轨迹的可变参数，称为参变量， 0≤k*<∞ p i ——(i=1，2，3，…，n)为系统的开环极点；()()() 1 4-7G s H s =-()()() 1 4-8G s H s =+()9-4 )())(()())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ绘制根轨迹时的注意事项（4-1）()9-4)())(()())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ z i ——(i=1，2，3，…，m)为系统的开环零点。

注意:开环传递函数的标准形式必须具有下列特征1) 参变量k*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个；B. G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示；C. 构成G(s)H(s)分子、分母的每个因子（ s-z i ) (i=o ，1，2 …，m )及（s-pi ） (i=o ，1，2 ，…，n)中s 的项系数必须是+1。

3、得到的根轨迹方程为180°(负反馈系统)根轨迹，即或写成统)根轨迹，即 或写成(幅值条件) (相角条件)4-2 绘制根轨迹的基本原则设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式：式中z i (i=1，2，…，m) 、 p i (i=1，2，…，m) 分别为开环零点与极点，它们既可以是实数，也可以是共轭复数。

下面基于式（4-1）所示开环传递函数分别介绍按相角条件式绘制)(0360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ︒+︒=+=⋅L ()()1G s H s =()()()0360 (i=0,1,2,) 4-14G s H s i ∠=︒+︒L )(180360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ︒+︒=-=⋅L ()()1G s H s =()()0360 (i=0,1,2,G s H s i ∠=︒+︒L 说明：相角条件是绘制根轨迹的充要条件；幅值条件常用来求根轨迹上一点的K*值式（4-1）180°根轨迹的基本原则。

下面给出的绘制180°根轨迹基本规则假若根轨迹方程为其中G(s)H(s)具有式（4-17）所示的标准形式，则需按相角条件绘制180°根轨迹。

绘制规则是： 1.根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于反馈系统特征方程的阶数n ，或者说根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。

2.根轨迹的连续性与对称性从式（4-11）及式（4-17）求得结论：上式表明参变量k 无限小的增量与s 平面上长度|s-p i | (i=1，2，…，n) 及|s-z i | (i=1，2，…，m)的无限小增量相对应，这是复变量s 在n 条根轨迹上将产生一个无限小的位移。

这个结论对于参变量k 在[0，∞)上取任何值都是正确的，这便说明了根轨迹线是连续的。

由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而对实际的物理系统来说，系统参数又都是实数，从而特征方程的系数也必然都是实数。

因为具有实数的代数方程的根如为复数，则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实轴的曲线。

()()1G s H s =-()11()()()()180360mni i i i G s H s s z s p i ==∠=∠--∠-=︒+︒ ι=0,1,2,∑∑L ()1212|||||||| 4-21||||||n m s p s p s p k s z s z s z -⋅--=-⋅--L L 式（4-2）因此得绘制根轨迹的基本原则二：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。

3.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点是指参变量k=0时闭环极点在s 平面上的分布位置而言，而根轨迹的终点则是k →∞时闭环极点在s 平面上的分布位置。

据开环传递函数为-1，系统的根轨迹方程可写成如下形式说明过程：从上式可看出，在k=0时，根轨迹方程的解为s=p i(i=1,2,…,n)。

这说明，在k=0时，闭环极点与开环极点相等。

当k →∞时，根轨迹的解为s=z i(i=1,2,…,m)。

这意味着参变量k 趋于无穷大时，闭环极点与开环极点相重合。

如果开环零点数目m 小于开环极点数目n ，则可认为有n-m 个开环零点处于s 平面上的无穷远处。

因此，在m<n 情况下，当k →∞时，将有n-m 个闭环极点分布在s 平面上的无穷远出。

因此得绘制根轨迹的基本原则三：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。

如果开环零点数目m 小于开环极点数目n ，则有n-m 条根轨迹终止于s 平面上的无穷远处。

在实际物理系统中m ≤n ，所以闭环极点数目与开环极点数目n 相等。

这样，起始于n 个开环极点的n 条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。

4.根轨迹的渐进线 由特征方程得()22-4 1)()(11kp s z s ni imi i-=--∏∏==式（4-3） 式（4-4）或写成当时k →∞，由于m<n ，所以满足式（4-5）的复变量s 也必趋于无穷大。

因为需要研究k →∞ ，亦即k →∞的情况，所以在式（4-5）中取复变量s 阶次较高的几项已足够。

这样，由式（4-23）写出下列近似式 将式（4-24）等号两边开(m-n)次方，得到式（4-7）等号左边开方项按二项式定理展开，并略去变量1/s 二次以上高次项，得到1)())(()())((2121-=------n m p s p s p s z s z s z s kΛΛ()23-4 1)()()()(111111kp s p s z sz s ni i n ni i n mi i m mi i m-=-++-+-++-+∏∑∏∑=-==-=ΛΛ()24-4 )s ,(k 1)()(1111∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--==-∑∑nm nm ni i m i i n m k p z s ()25-4 )s ,(k 1)()(11111∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--==∑∑nm nm m i ni i i k s p z s )s ,(k 1)()(11111∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⋅-+-==∑∑n m m i ni i i k s p z n m s)s ,(k 1)()(111∞→∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=----+-==∑∑nm m i ni i i k nm p z s ()())s ,(k 1)()(s 1111∞→∞→-⋅+----=--==∑∑mn mn mi ni iik mn p z 式（4-5） 式（4-6） 式（4-7） 式（4-8）考虑到e -j(2l+1)p =-1(l=0,1,2,…)，上式可写成式（4-9）所示便是180°根轨迹方程在k →∞情况下的解。

绘制根轨迹的基本原则四：若反馈系统的开环零点数目m 小玉其开环极点数目n ，则当参变量k →∞时，跟轨迹共有(n-m)渐进线。

这些渐进线在实轴上共交于一点，其坐标是渐进线与实轴正方向的夹角分别是5.实轴上的根轨迹在实轴上的点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段必是实轴上根轨迹部分。

证明过程：找点用相角条件进行试探6.根轨迹分离（会合）点证明过程：分离点与会合点的坐标用下式求得证明过程见课本1467.出射角与入射角()26-4 )()(s 12111πmn l jmn m i ni iiekmn p z -+-==⋅+----=∑∑)1,,2,1,0,s ,(k --=∞→∞→m n l Λj0,)()(11⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑∑==m n z p n i mi i i ())1,,2,1,0(m-n 12--=+m n l l Λπ式（4-9）1111nmj i ji s p s z ===--∑∑8.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中的一部分位于虚轴上，亦即反馈系统特征方程根s=±jw。