几何三大变换（习题）
➢例题示范
例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为．
【思路分析】
要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x．
思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x，
A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是
直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．
思路一思路二
思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程．
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为．
【思路分析】
已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四
边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的
结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
➢巩固练习
1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单
位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为．
第1 题图第2 题图
2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到
△A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为．
3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点
三角形乙，则其旋转中心是（）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
第3 题图第4 题图
4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB
上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的
对应点N 恰好落在OA 上，则OC
的值为．CD
5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接
AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针
旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1，
BE=2，CE=3，则∠BE′C= ．
6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该
平行四边形折叠，使点C，D 分别落
在点E，F 处，折痕为MN．若点E，
F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
7.如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，
沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N，折痕交CD 边于点M，BM 与EF 交于点P，再展开．则下列结论：
①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2 3CM 2 ；④△PMN 是等
边三角形．其中正确的是．（填序号）
第7 题图第8 题图
8.已知一个矩形纸片OABC，OA=6，点P 为AB 边上一点，AP=2，
将△OAP 沿OP 折叠，点A 落在点A′处，延长PA′交边OC 于点D，经过点P 再次折叠纸片，点B 恰好落在点D 处，则AB 的长为．
9.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，
使点D 与点B 重合，点C 的对应点为点C′，折痕为EF，则EF 的长为．
10.如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=10，CD 上有一点E，ED=2，
AD 上有一点P，PD=3，过P 作PF⊥AD 交BC 于点F，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q，与AD
交于点G，则PQ 的长为．
11.如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，
∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD 的长为．
➢思考小结
请结合本讲所学内容，回忆三大变换的思考层次
、
；
平移旋转轴对称
①全等变换：①全等变换：①全等变换：
对应线段平行对应线段相等、对应角相对应线段相等
（或在一条直等；对应角相等；
线上）且相等、②对应点：②对应点：
性质
对应角相等；
②对应点：
对应点到旋转中心的距离
相等；
对应点所连线
段被对称轴垂对应点所连线对应点与旋转中心的连线直平分；
段平行（或在所成的角都等于旋转角；对称轴上的点
一条直线上）对应点所连线段的垂直平到对应点的距
且相等．分线都经过旋转中心．离相等．
平移会出现平旋转会出现等腰三角形，矩形背景下常
行四边形．特别地，旋转60°会出现等出现等腰三角组合
搭配
边三角形，旋转90°会出现
等腰直角三角形．
形；
两次折叠常出
现直角、60°角
折叠会出现圆
弧等．常应用在天桥当题目中出现等线段共端常应用在最值
问题、存在性问点时，会考虑构造旋转．问题等．
应用题等．（常见于图形中有正方
形、等边三角形、等腰三
角形等）
【参考答案】
1. 8
2. 8
3. B
2
4.
2
5. 135°
6. 40°
7. ②③④
8. 12
9. 10
13
10.
4
11. 4。