M-PSK 调制在高斯信道和Rayleigh 衰落信道中的平均误码率性能研究1. 背景MPSK - multiple phase shift keying 多进制数字相位调制，又称多相制，是二相制的推广。

它是利用载波的多种不同相位状态来表征数字信息的调制方式，多进制数字相位调制也有绝对相位调制（MPSK ）和相对相位调制（MDPSK ）两种，在M 进制数字相位调制中，四进制绝对移相键控（4PSK ，又称QPSK ）应用较为广泛，它的优点是已调信号具有相对窄的功率谱和对放大设备没有线性要求,不足之处是其频谱利用率低于线性调制技术。

1780年以后,四相绝对移相键控(QPSK)技术以其抗干扰性能强、误码性能好、频谱利用率高等优点,广泛应用于数字微波通信系统、数字卫星通信系统、宽带接入、移动通信及有线电视系统之中。

2. MPSK 调制解调基本原理2.1 基本原理一个MPSK 信号码元可以表示为)cos()(0k k t A t S θω+= M k ,,2,1 =式中：A 为常数；k θ为一组间隔均匀的受调制相位，其值取决于基带码元的取值。

所以它可以写为)1(2-=k Mk πθ M k ,,2,1 =通常M 取2的某次幂：k M 2= 为正整数k在后面的分析中，为了不失一般性，可令其中的A=1，然后将MPSK 信号码元表示为t b t a t t s o k k k k ωωθωsin cos )cos()(00-=+=式中：k k k k b a θθsin ,cos ==。

上式表明，MPSK 信号可以看作是由正弦和余弦两个正交分量合成的信号。

它们的振幅分别是k a 和k b ，并且122=+k k b a 。

这就是说，MPSK 信号码元可以看做是两个特定的MASK 信号之和。

2.2 QPSK 调制原理框图 2.2.1相乘电路调制图2—1相乘电路产生QPSK法图中输入基带信号A(t)是二进制不归零双极性码元，它被“串/并转换”电路变成两路码元a和b后，其每个码元的时间是输入码元的的2倍。

这两路并行码元分别用以和两路正交载波相乘。

2.2.2 QPSK矢量的产生（b方式）图2—2 QPSK矢量的产生图中a（1）和a(0)分别表示a路信号码元二进制的“0”、“1”。

b(1)和b(0）分别表示b路信号码元二进制的“0”、“1”。

这两路信号在相加电路中相加后得到输出矢量是s（t），每个矢量代表2bit,如图中实线所示。

上述二进制信号码元“0”和“1”在相乘电路中与不归零双极性矩形脉冲振幅的关系如下：二进制码元“1”双极性脉冲“+1”；二进制码元“0”双极性脉冲“-1”。

2.3.1 QPSK解调框图QPSK解调过程原理图如下图所示：S(t) A(t)图2—3 QPSK 信号解调原理方框图由于QPSK 信号可以看做是两个正交2PSK 信号的叠加，所以用两路正交的相干载波去解调，可以很容易地分离这两路正交的2PSK 信号。

相干解调后的两路并行码元a 和b ，经过并/串变换后，成为串行数据输出。

3. 两种信道中平均误码率的分析推导过程3.1 高斯信道下的平均误码率MPSK 信号码元表达式为t b t a t t s o k k k k ωωθωsin cos )cos()(00-=+=式中:k k k k b a θθsin ,cos ==。

可知，当QPSK 码元的相位k θ=045时，21==k k b a所以信号码元相当于是互相正交的2个2PSK 码元，其幅度分别为接收信号幅度的12。

另一方面，接收信号和加性高斯白噪声之和为)()cos()(t n t A t r o ++=θω式中：t t n t t n t n c s c c ωωsin )(cos )()(-=；n （t ）的方差为2n σ，噪声的两个正交分量的方差为222n s cσσσ==。

若把此QPSK 信号当作两个2PSK 信号分别在两个相干检测器中解调时，只有和2PSK 信号同向的噪声才有影响。

由于误码率决定于各个相干检测器输入的信噪比，而此处的信号功率为接收功率的1/2倍，噪声功率为2n σ。

若输入信号的信噪比为r ，则每个解调器输入端的信噪比将为r/2。

因为2PSK 相干解调的误码率为r erfc P e 21=其中r 为解调器输入端的信噪比，现在用r/2代替r,所以QPSK 的误码率相乘 相乘 π/2低通 载波提取低通 抽判定时抽取 抽判并/串221r erfc P e =即正确概率为[2211r erfc -],因为只有两路正交的相干检测都正确，才能保证QPSK 信号的解调输出正确，所以QPSK 信号解调错误的概率（即误码率）为2]2211[1r erfc P e --=当M 较大时，MPSK 误码率公式可以近似写为)sin (Mr erfc P e π≈3.2 Rayleigh 衰落信道下的误码率发送信号一般可以表示为])(Re[)(21t f j c e t S t S π=假设存在多条传播路径，以及和每条路径有关的随时间变化的传播延时和衰减因子。

接收的带通信号为∑-=)]([)()(t t s t t x n n τα其中，)(t n α和)(t n τ分别为第n 条传播路径上接收信号的衰减因子和传播延时。

将s(t)代入上式}])]([)(Re{[)(2)(21t f j nt f j n n c n c e e t t s t t x πτπτα∑--=由上式可知，等效低通接收信号为∑--=nt f j n n n c e t t s t t x )(211)]([)()(τπτα因为)(1t x 是等效低通信道对等效低通信号)(1t s 的响应，所以，等效低通信号可以用如下时变脉冲描述∑--=nt f j n n n c e t t t t c )(2)]([)();(τπτδατ当脉冲响应);(t c τ为零均值复高斯过程时，任何时刻t 的包络);(t c τ是瑞利分布的，该信道就为瑞利衰落信道。

假设信道是频率非选择性的，且是慢衰落的，则信号所有频率分量在通过信道传输时受到相同的衰减和相移，且信道衰减和相移至少在一个信号传输间隔内基本固定不变。

因此，若发送信号为)(1t s ，在一个信号传输间隔内的等效低通接收信号为)()()(11t z e t s t x j +=-φα T t ≤≤0其中，)(t z 表示恶化信号的高斯白噪声过程。

假设信号衰落足够慢，以至于相移φ能够从接收信号中无误差的估计出来，由此可以实现接收信号的相干检测。

接收信号可以用一个匹配滤波器来处理信号，固定信道，即固定衰减α，其差错率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02NQ P be ε 将上面的差错率改为下面的形式()b b Q P γ2=其中，02/N b b εαγ=。

将上式作为差错率，其条件是α为固定不变的。

为了得到α随机变化时的差错率，必须将()b b P γ对b λ的概率密度函数求平均，既要计算如下积分()()b b b b b d P P P γγγ⎰∞=0其中，()b b P γ是α为随机变量时b γ的概率密度函数。

因为α服从瑞利分布，有瑞利分布和2χ分布的关系可知，2α服从2χ分布。

2α是具有两个自由度的2χ分布，因此b γ也是2χ分布。

由2χ分布PDF 的表达式可以写出b γ的PDF 表达式()b b e P bb b γγγγ/1-=0≥b γ其中，b γ是平均信噪比。

()2αE 是2α的平均值。

()20αεγE N bb =将上式代入b P 的表达式进行积分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b P γγ1121 上面的差错率表达式是假定在慢衰落时得到的，相移估计是无噪的情况下得到的，这是在瑞利衰落时可能得到的最好性能。

4. 仿真4.1操作过程把自己编写的function 函数和主函数放在同一个文件夹diaoyonghanshu 中，如下图：打开Matlab，在current folder中打开文件夹diaoyonghanshu添加两个function函数，如下图：然后在Matlab中运行QPSK_System_BER_Simulation.m，得到高斯信道和Rayleigh衰落信道波形图。

4.2 仿真结果5.结论1.高斯信道和瑞利衰落信道的误码率对比，由图可知瑞利衰落信道下的误码率比高斯信道下的误码率高。

2.随着信噪比的增大，高斯信道和瑞利衰落信道的误码率均降低。

3.相同信噪比时，高斯信道和瑞利衰落信道的实际误码率比理论情况下的误码率高。

参考文献[1].樊昌兴. 通信原理（第六版）[M].北京:国防工业出版社，2006: 196-213[2].万永革.数字信号处理的MA TLAB实现[M].北京：北京科学出版社附录一：function [pb,ps]=cm_sm32(snr_in_dB)% [pb,ps]=cm_sm32(snr_in_dB)% CM_SM3发现误码和误符号的概率% snr_in_dB的给定值，信号以dB为单位的信噪比。

counter=0;numofsymbolerror=0;numofbiterror=0;while (numofbiterror<100) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%N=10000;E=1; % 每个符号的能量snr=10^(snr_in_dB/10); % 信噪比sgma=sqrt(E/snr)/2; % 噪声方差s00=[1 0]; s01=[0 1]; s11=[-1 0]; s10=[0 -1]; % 信号映射% generation of the data sourcefor i=1:N,temp=rand; % 0和1之间均匀分布的随机变量if (temp<0.25), % 概率小于1/4时，源极输出为“00”dsource1(i)=0; dsource2(i)=0;elseif (temp<0.5), % 概率小于1/2时，源极输出为"01"dsource1(i)=0; dsource2(i)=1;elseif (temp<0.75), % 概率小于3/4时，源极输出为"10"dsource1(i)=1; dsource2(i)=0;else % 其余，源极输出为"11"，与星座图对应dsource1(i)=1; dsource2(i)=1;end;end;% 检测和计算误差的概率for i=1:N,% 在检测所接收的信号，对于第i个符号，方法是：n=sgma*randn(1,2); % 正态分布，方差if ((dsource1(i)==0) & (dsource2(i)==0)),r=s00+n;elseif ((dsource1(i)==0) & (dsource2(i)==1)),r=s01+n;elseif ((dsource1(i)==1) & (dsource2(i)==0)),r=s10+n;elser=s11+n;end;% 相关指标如下计算c00=dot(r,s00); c01=dot(r,s01); c10=dot(r,s10); c11=dot(r,s11);% 在第i个符号的判定为下一次c_max=max([c00,c01,c10,c11]);if (c00==c_max), decis1=0; decis2=0;elseif (c01==c_max), decis1=0; decis2=1;elseif (c10==c_max), decis1=1; decis2=0;else decis1=1; decis2=1;end;% 增加错误计数器，如果决定是不正确的symbolerror=0;if (decis1~=dsource1(i)), numofbiterror=numofbiterror+1; symbolerror=1;end;if (decis2~=dsource2(i)), numofbiterror=numofbiterror+1; symbolerror=1;end;if (symbolerror==1), numofsymbolerror=numofsymbolerror+1;end;end;counter=counter+1;endps=numofsymbolerror/(N*counter); % 误信率pb=numofbiterror/(2*N*counter); % 误码率附录二：function [pb_rayleigh,ps_rayleigh]=rayleigh(snr_in_dB)% [pb_rayleigh,ps_rayleigh]=rayleigh(snr_in_dB)% CM_SM3发现误码和误符号的概率% snr_in_dB的给定值，信号以dB为单位的信噪比。