rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆

B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
面约束。
刚杆
绳
x2+y2=l2
x2+y2 l2
双面约束和单面约束
x2 y2 z2 l 2
双面约束
双面约束和单面约束
x2 y2 z2 l 2
单面约束
4、完整约束和非完整约束
●显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程，如果这方 程不可积分成有限形式，则相应的约束称为非完整约束（或非 全定约束）只要质点系中存在一个非完整约束，这个系统便称 为非完整系统。
rB
vB
b
(二) 解析法 对于较复杂的系统，各点的虚位移间关系比较 复杂，这时可建立一固定直角坐标系

(Fixxi Fiyyi Fizzi ) 0
主动力 Fi 在直角坐标轴上的投影 虚位移 δ ri 在直角坐标轴上的 投影
[例] 分析图示机构在图示位 置时，点C、A与B的虚位移 之间的关系。 (已知 OC=BC=
u
r
O
M
实位移不会和某个虚位移相
重合。
约束方程
M r
t
y
z ut 0
x
虚位移
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小 位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。
虚位移与实位移的区别：
设有质点M被约束在斜面上运动，同 时此斜面本身以匀速v 作水平直线运动， 这里，斜面构成了非定常约束。
WN ( N F ) rC 0
理想约束
r1
B
FNB
r2
' FSA A
' FNA
FSB
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。 则该系统是否是理想约束
FN 1 地面光滑
i 1 （1）：有摩擦 是非理想约束 ' ' ( FNB FSB ) (r1 r2 ) ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
第十四章
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理，它给出
了质点系平衡的充分和必要条件。
• 约束及其分类 •什么是虚位移 • 什么是虚功 •虚位移原理的应用
FA
δ rA
A
δ
O
δ rB
FB
B
x
yA r x A r
完整约束
约束方程：
x r ( sin cos sin ) 0 y r ( sin sin cos ) 0
x，y、z 为球心坐标。
θ、φ、ψ 为欧拉角。
非完整约束
本章只讨论： 定常的双侧、完整、几何约束
δr dr M' t + △t δr
v
M
t
虚位移与实位移的区别：
虚位移与实位移
虚位移必须是约束所允许的。如何理解？
图1中机构，如果 先给A点图示虚位移， 那么B 点的虚位移就是 错的，是约束不允许的。
图2中机构，如果 先给A点图示虚位移， 那么B 点的虚位移就 是错的，是约束不允 许的。
A O φ
yA r
v A r 0
( x A r 0)
2、定常约束和非定常约束
约束条件不随时间改变的约束为定常约束
当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束
x y l0
2 2
2
x y (l0 v0t )
2 2
2
定常约束
非定常约束
3、单面约束和双面约束
' FA
F
i 1
n
Ni
ri 0
A r
A
Foy
O

Fox
FA

FN
B rB
5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶)
1、光滑支承面
2、光滑铰链
WN N r 0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索
WN N r N 'r 0
5、刚体在粗糙面上的纯滚动
虚位移与实位移的区别： 例如，一个被约束固定曲面上的质点， 它的实际位移只是一个，而虚位移在它的约 束面上则有任意多个。
dr δr
δr
δr
虚位移与实位移的区别： 在定常约束的情况下，
约束性质不随时间而变，因
可能位移 实位移
z
t dt
此，实位移只是所有虚位移
中的一个。但对非定常约束，
r
r
dr
FAl A FBlB 0
FArA FBrB ( FAl A FBlB ) 0
δ rA δ l A δ rB δ lB
非自由质点系的平衡问题
几何法
静力学公理 刚体平衡的充要条件
分析法
虚位移原理 任意质点系平衡的普遍原理 动力学普遍方程 分析力学 达朗贝尔原理
C1 M m1 g m2 g O

B F
m3 g
1. 确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
F r
i 1 i
n
i
0
rA
rC
1
A

m1 g
O
rC
M
m2 g
[rA ] AB [rB ] AB
2

rB
B
F
FL M ( FL M ) 0 0 LF M 0 M LF
2
( xB x A ) ( y B y A ) l
2 2
2
yB 0
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束 方程就是曲面的曲面方程：
z A（x, y, z)
f ( x, y , z ) 0
x y
z x
y
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时， 这种约束条件称为运动约束
几何约束： 运动约束：
a，OA=l ) 解： 几何法
根据约束条件，分析可能的位移，并在图中标注
rC a rA l
a 1 rC PC 2a s in 2 s in rB PB
虚位移原理
例：已知 OA=L，求 系统在图示位置平衡 A
900
C2
时，力偶矩M与力F
的关系（不计摩擦） 基本步骤：
FAx
FAy
C2
研究AB 杆和滑块B
x
0
FNB
B F
FAx F 0 (2)
m2 g
(2) ( L) (1)
FL M 0
m3 g
图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ, Ｂ与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示 位置平衡. 求：主动力 FA与 FB 之间的关系。
解: (1)
i 1
n
Ni
ri 0
§14-3 虚位移原理及应用
一、虚位移原理(virtual work principle)
F
i 1
n
i
ri 0
虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的
质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所
有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 证明必要性： 平衡
W F rB F rA FR
90
0

rB B
F
rB rA
理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
讨论： 哪些约束是理想约束?
1、光滑固定面和可动铰链支座
2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索
●如果约束方程可以积分成有限形式，则这样的约束称为完 整约束。方程中不显含坐标对时间的导数的约束为几何约束。 当然，几何约束也属于完整约束。几何约束的一般形式为：