参数方程专题1
为什么要引入参数方程？开门见山的角度讲，我们最喜欢得到一个y关于x的函数或者x和y组成的方程或者简单地说：关系，如y=y(x)或者y=f(x)或者f(x,y)=0.但是随着研究应用的广泛和问题的深入，我们发现问题来了：这样一个看似简单的问题，做不到啊！为了解决这个问题，一些数学界的聪明人想，如果我用一个参数表示x，再用同样的参数表示y，一个参数值定了，x和y不也就定了吗？变相地说一个x确定了一个y，这不就回到函数或者说曲线或者说方程的含义了吗？这是采取了找中介的办法。

曲线救国的办法。

他们给他一个数学术语：参数方程。

你比如说
{x=sinθ
y=cosθ，
我们用θ去表示x,y，一个θ确定了，x和y也就确定了，你就可以说一个x对应1个y，这就是一个函数关系。

也许你稍微用一点聪明就说，我不需要参数方程，我直接就看出来了，这就是x2+y2=1，一个单位圆。

那好，这是一个简单例子，我们来个稍微难一点的，
{x=tanθ
y=cosθ
你能立马消掉θ，直接得到y关于x的函数关系吗？我们在动一点脑筋，其实也不难，xy=sinθ,(xy)2+y2=1。

你可以说这也不难，但是行行色色的世界，我们遇到的各种复杂关系多了去了，有时候你还真消不了θ或者说其他类似的参数，这在大学阶段或者研究阶段屡见不鲜，所以经常还需要用计算机编程数值求解。

更为难的是，有时候问题难了，运气差了，你连这样一个联系x 和y的中介都找不到，但仍然一个x对应一个y，只是你没办法用一个具体的式子把他们联系起来。

所以看到参数方程，你不应该感到害怕，你应该为数学感到庆幸，还有一个参数把x和y联系起来了，通过数学手段还能把参数给消除了，最终得到f(x,y)=0.
说一千，道一万，参数方程是有价值的。

从做题来讲，参数方程最大的价值在于：可以更简单直观地分析题意。

比如拿教材一道例题（P24）来说，
要是我们不会参数方程，我们只能设P(x0,y0),然后加上条件x02+y02=4,然后利用中点公式表示中点M
{x=
x0+6
2
y=y0+0 2
注意上面有x 0,y 0两个参数，当然也算参数方程。

但我们看能不能利用条件x 02+y 02=4把其中一个换掉，就只剩一个参数
{
x =x 0+62y =±√4−x 02+02
这算是以x 0为参数的参数方程，我们发现这个形式并不好看，所以选这种参数方程并不是最好（但绝对没有错）。

当然了，我们想看看能不能消掉x 0，
方法一：消的时候用x ，y 来表示x 0,(因为这样不就把x 0表示掉了没了吗只剩x,y 了吗？！)
{x 0=2x −64y 2=4−x 02
即4y 2=4−（2x −6）2
即y 2=1−（x −3）2
即（x −3）2+y 2=1
方法二：消的时候x 表示x 0,y 表示y 0（同理因为这样x 0,y 0就被表示掉,代入x 0,y 0满足的关系就只剩x,y 了啊！）
{x 0=2x −6y 0=2y
代入条件x 02+y 02=4就得到只有x,y 的关系，
（2x −6）2+（2y ）2=4
即（x −3）2+y 2=1
最后，我们发现虽然利用x 0,y 0两个做参数或者仅用一个x 0做参数当然都可以列出正确的参数方程，但还有没有其他的参数选择办法？
方法三：这就是教材上极力想向你们推荐的：以角度θ为参数。

把参数用未知数x,y 换掉，代入参数满足的天然关系
cos 2θ+sin 2θ=1
对比一下方法三，我们发现用θ做参数，可以直接翻译题目，
这种设法直接把条件x 02+y 02=4包含了进去，就是说在设的时候他已经天然满足了这个条件，不用再去单独考虑。

直观，好用。

这种优势在中点方程这种简单题型里还体现不出来，当在一些较复杂的条件求相应曲线方程的时候，就比x 0,y 0或者x 0这种设法简洁多了。

精彩总结：在设参数方程的时候，用已知坐标表示未知坐标，列出参数方程后消参数的时候，用未知坐标表示已知坐标，代入已知坐标满足的约束条件，就得到了只有未知坐标x,y 的曲线方程f(x,y)=0
常用参数方程：（找一个参数，用其表示出来的x,y 正好满足已知方程）
1） 圆的参数方程：（为参数）
例题解析
⎩
⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ。