完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。
解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。
1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
先求边缘概率密度f X (x) 、 f Y ( y)注意上下限的选取f (x) f x,y dy X XY x2x ,0 x 1dy ,0x 1x0 else0 ,else ，1dx ,0y 1y1f (y) f x,y dx dx , 1 y 0 Y XYy 1 | y|1 y 1else0 , else专业知识分享完美 WORD 格式1-14 已知离散型随机变量X的分布律为X 3 6 7P 0.2 0.1 0.7求：①X的分布函数②随机变量Y 3X 1的分布律1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。
求：①随机变量X Y eZ X 的概率密度？的概率密度？②随机变量分析: ①f Y (y) h '(y) f X h( y)② f Y ( y) | h'1(y) | f X [h1( y)] | h'2 ( y) | f X [h2 ( y)]答案:2 2ln y z1 22 2e y 0 e z 0f (y) 2 y f (z)Y Z0 else 0 else专业知识分享完美 WORD 格式1-16 已知随机变量X和1 X相互独立，概率密度分别为21 f (x )2X 111x1e 2 , x 011f x( ) 3X 221x2e 3 x, 020 , x 0 ，10 , x 02求随机变量 Y X1 X2 的概率密度？解：设Y Y X X1 1 2Y X 任意的求反函数，求雅克比J＝－1 2 1 ( )1f y , y 6YY 1 2 1 21 1y y1 2e y y3 61 20 0 elsef y Y 1 11 1y y1 1e e y3 210 else1-17 已知随机变量X ,Y 的联合分布律为m n e53 2P X m,Y n , m,n 0,1,2,m! n!P X m (m 0,1,2, )P Y n (n 0,1,2, ) ？求：①边缘分布律和②条件分布律P X m |Y n 和P Y n | X m ？专业知识分享完美 WORD 格式分析：m n e 5 m n3 23 2 3 e 2 eP X m,Y n , m,n 0,1,2,m!n! m! n!k e泊松分布, 0,1,2,P X k kk!k keP X k e e e 1k P19 （1－48）! k!k 0 k 0k 0解：①m 3 n3 e 2 eP X m P X m,Y nm! n!n 1 n 12同理P Y n P X m,Y nn 1n2en!2②P X m,Y n ＝P X m P Y n即X、Y相互独立专业知识分享完美 WORD 格式1-18 已知随机变量X XX 相互独立，概率密度分别为1, 2, , nX X X 相互独立，概率密度分别为f x f x f x 。
又随机变量1( 1), 2 ( 2), , n ( n)Y X1 1Y X X2 1 2Y X X Xn 1 2 n证明：随机变量Y YY 的联合概率密度为1, 2, , n Y Y Y 的联合概率密度为f (y , y , , y ) f ( y ) f (y y ) f ( y y )Y 1 2 n 1 1 2 2 1 n n n 1Y X1 1Y X X X Y Y2 1 2 1 2 1Y X X X X Y Y2 1 23 2 3 2Y X X X X Y Yn 1 1 2 n 1 n n n 1Y X X X Xn 1 2 n 1 n1 0 0 0 01 1 0 0 0J 10 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1专业知识分享完美 WORD 格式因为|J| ＝1, 故 f y y y f y y y y y( , , , ) ( , , ,n )Y 1 2 n X 1 2 1 n1已知随机变量X1 , X2 , , X n 相互独立，概率密度分别为f1(x1), f2 (x2), , f n (x n)f (y , y , , y ) f ( y , y y , , y y )Y 1 2 n X 1 2 1 n n 1f ( y ) f (y y ) f (y y )1 12 2 1 n n n 1专业知识分享完美 WORD 格式1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为1xf (x) e , xX2求其数学期望与方差？解:1xE X xf ( x)dx x e dx 0X2奇函数1x2 2 2E X x f ( x)dx x e dxX2偶函数2 x 2 x x 2x e dx x e e dx0 0xe 2 xdx2x xxe 2 e dx 2专业知识分享完美 WORD 格式1-20 已知随机变量X可能取值为 { 4, 1,2,3,4} ，且每个值出现的概率均为 1 5 。
求：①随机变量 X的数学期望和方差？②随机变量2Y X 的概率密度？③Y的数学期望和方差？3①③E[ X ] x pk kk 12E[ g(X )] g(x ) p E[ X ]k kk 122D X E[ X ]E [ X]答案:4 46 2142E[X ] E[ X ] D X5 5 252E[Y ] E[Y ] 1098 D Y5 25138 8406②Y 3 12 27 48P 1/5 1/5 1/5 2/5离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25 式f x p x xk k 其中x, x 00 , x 0为冲激函数k 11f y y 3 y 12 y 27 2 y 48 Y5专业知识分享完美 WORD 格式1-22 已知两个随机变量X,Y的数学期望为m X 1, m Y 2 ，方2 4, 2 1差为X Y ，相关系数XY 0.4。
现定义新随机变量V W 为,V X 2YW X 3Y求V,W 的期望，方差以及它们的相关系数？E V 3 E W 7E aX bY aE X bE YD V 4.8 D W 17.82 2D aX bY a D X b D Y 2abC XYCXYXY 0.13X Y专业知识分享完美 WORD 格式1-23 已知随机变量X,Y 满足Y aX b ，a,b 皆为常数。
证明：①2C a ；②XY XXY1 a 0X1 0a ；③当m 0 且b2aE[ X ]E X 时，[ ]随机变量 X,Y 正交。
①C XY R XY m X m YE Y E aX b am bX2E XY E X aX b aE X bmXC a＝XY X2CXY②XYX Y2 2 2D Y D aX b a D X aX2C a aXY XXY 2 2aX Y X Xa③正交R XY＝02E XY aE X bmXb2aE[ X ]E[ X ]得证专业知识分享完美 WORD 格式1-25 已知随机变量X,Y 相互独立，分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布。
①求随机变量X的数学期望和方差？②证明Z X Y 服从参数为 1 2 的泊松分布。
ke解：①泊松分布P X kk0 k!特征函数的定义juekjuX jukQ u E e e e eXk k0 k!0 k!k由xekkxk (1-17 题用过) 可得0 !ju jue (e1)Q u e e eXjuedQ u deXE X j jd u d uu 0 1ujue 1 2 2d Q u de 222 X 2E X j j2 2d u d uu 0 u 0②根据特征函数的性质，X Y 相互独立，ju( )(e 1)Q u Q u Q u e1 2Z X Y表明Z 服从参数为 1 2 的泊松分布专业知识分享完美 WORD 格式1-26 已知随机变量X ,Y 的联合特征函数为Q (u, v) XY66 2 ju 3jv uv求：①随机变量 X的特征函数②随机变量 Y 的期望和方差Q (u) Q (u, 0)X XY 33解：①ju②0Q (v) Q ( ,v) Y XY 22jvkd Q (u)k k XE[ X ] ( j )kduu02dQ (v) 2 j d Q (v) 4 jv 8Y Y2 2dv jv dv j v2 242d Q (v) 1 d Q (v) 12 2Y YE[Y] ( j)E[Y ] ( j)2du 2 u 2dv 0 v 0专业知识分享完美 WORD 格式1-28 已知两个独立的随机变量X,Y的特征函数分别是( )Q u 和XQ u ，求随机变量Z 3(X 1) 2(Y 4)特征函数 Q Z (u) ？( )Y解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y 独立，因此有3(X 1)和2(Y 1)独立独立的等价条件（充分必要条件）①f XY(x, y) f X (x) f Y (y)k n k n②k 1,n 1 E(X Y ) E(X ) E(Y )③Q (u ,u )=Q u Q uX 1 2 X 1 X21 21-29 已知二维高斯变量X X 的期望分别为(X, X ) 中，高斯变量1 21, 2X X 的期望分别为专业知识分享完美 WORD 格式m m ，方差分别为1, 2 2 21 ,2 ，相关系数为。